Алгоритмы развития - страница 25

Вариационные принципы возникли в механике и сыграли выдающуюся роль в ее развитии и создании эффективных численных и аналитических методов решения различных прикладных задач. В последующем вариационный подход широко использовался и при создании более сложных физических теорий. На этом пути очень важные результаты были получены еще в 1931 г. создателем неравновесной термодинамики Л. Онсагером, который сформулировал следующий вариационный принцип^>15: при постоянных условиях на границе некоторого объема V имеет место равенство

где σ_>s– производство энтропии, Ф – функционал рассеяния, а δ означает обычный символ варьирования. Из (1), как это показал Бёрёш^>16, могут быть выведены уравнения Навье – Стокса. В 1947 г. И. Р. Пригожиным для стационарных условий был получен другим путем принцип, который был назван им принципом минимума производства энтропии^>17:

Оказалось, что при изученных условиях принципы (1) и (2) эквивалентны. Этот факт установил И. Дьярмати^>18.

Работы Онсагера, Пригожина и их последователей имели своей Целью построение «классических» вариационных принципов, т. е. таких, из которых следовали бы законы сохранения, т. е. уравнения, описывающие движение среды. Другими словами, ими была сделана попытка построить принципы, носящие достаточно универсальный характер, такой, как и принципы механики. Однако для их вывода потребовалось сделать ряд серьезных предположений об особенностях изучаемых процессов (локальная обратимость, линейности в смысле Онсагера и т. д.). Благодаря этому развитие и использование принципов Онсагера и Пригожина для анализа прикладных задач столкнулись с целым рядом трудностей. Для того чтобы их проиллюстрировать, рассмотрим, следуя К. П. Гурову^>19, задачу о переносе тепла вдоль однородного стержня – классическую задачу, рассмотренную еще Фурье. В этом случае по теории Онсагера

и принцип минимума производства энтропии (2) дает нам

Откуда, интегрируя по частям, находим

И следовательно:

Но равенство (4) в общем случае не эквивалентно закону Фурье:

Отсюда вытекает, в частности, что процессы переноса тепла, удовлетворяющие закону Фурье, будут сопровождаться таким производством энтропии, которое не доставляет минимум функционалу

Вместе с тем И. Р. Пригожий дает следующую формулировку принципа минимума производства энтропии: «Теорема о минимуме производства энтропии… утверждает, что производство энтропии системой, находящейся в стационарном, достаточно близком к равновесному состоянию, минимально»^>20. Он, как мы видим, рассматривает сформулированный принцип, известный как теорема Пригожина – Глейнсдорфа, в качестве весьма универсального принципа, управляющего самоорганизацией диссипативных систем. В то же время пример, который я привел, показывает сложности, возникающие при выяснении условий применимости принципа минимума роста энтропии. Вот почему в данной книге я придал иное содержание принципу «экономии энтропии». Принцип минимума диссипации не эквивалентен принципам Онсагера и Пригожина, не следует из них и рассматривается в моей работе в качестве эвристического утверждения, отвечающего тому, что мы наблюдаем в окружающем нас мире^>21.

До сих пор речь шла о неживой природе. В биоте проблема формулировки принципов отбора усложняется еще больше. Появляется стремление к сохранению гомеостазиса, которому отвечает представление об отрицательных обратных связях. Они, в свою очередь, являются некоторыми новыми принципами отбора, свойственными только живой природе. Но эти новые принципы действуют совершенно иначе, нежели принципы отбора в неживой природе. Так, законы сохранения массы или импульса не могут не выполняться. Ничему и никому ни при каких обстоятельствах не дано возможности нарушить их. Что же касается принципа стабильности (гомеостаза), то он проявляется как тенденция: живое существо стремится сохранить свою стабильность, но в принципе оно способно ее нарушить. При этом оно может погибнуть или выжить, но это уже другой вопрос. Таким образом, тенденция сохранения гомеостазиса, постоянно наблюдаемая у живых организмов, – это эмпирическое обобщение.