Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - страница 6

Поиски решения загадки кривых достигли апогея, когда стало ясно, что кривые – это нечто большее, чем просто геометрические отклонения. Они были ключом к разгадке тайн природы. Они естественным образом возникали в параболической дуге летящего мяча, в эллиптической орбите Марса, движущегося вокруг Солнца, и в выпуклой форме линзы, которая могла преломлять и фокусировать свет в нужном месте, без чего было бы невозможно бурное развитие микроскопов и телескопов в Европе позднего Возрождения.

Так началась вторая великая одержимость: увлечение тайнами движения на Земле и в Солнечной системе. С помощью наблюдений и замысловатых экспериментов ученые обнаружили интересные численные закономерности для простейших двигающихся объектов. Они измеряли колебания маятника, определяли ускорение шара, катящегося по наклонной плоскости, и наносили на карту движение небесных тел. Обнаруженные закономерности восхищали их: действительно, Иоганн Кеплер впал в состояние описанного им «священного помешательства», обнаружив законы движения планет, поскольку эти закономерности показались ему признаком работы Бога. С более светской точки зрения такие законы подкрепляли утверждение, что природа глубоко «математична», как и говорили пифагорейцы. Единственная загвоздка – никто не мог объяснить эти новые чудесные закономерности, по крайней мере с помощью существовавших в то время форм математики. Арифметика и геометрия не справлялись с этой задачей даже в руках великих математиков.

Проблема заключалась в том, что движение не было равномерным. Шар, катившийся по наклонной плоскости, непрерывно менял скорость, а планета, вращающаяся вокруг Солнца, все время меняла направление движения. Что еще хуже, планеты двигались быстрее, когда находились ближе к Солнцу, и медленнее, когда находились от него вдалеке. Не было никакого известного способа разобраться с непрерывно изменяющимся движением. У математиков имелась теория для самого тривиального вида движения – перемещения с постоянной скоростью, когда расстояние вычисляется путем произведения скорости на время. Но когда скорость меняется, причем непрерывно, дела обстоят совершенно иначе. Движение оказалось таким же Эверестом, как и кривые.

Как мы увидим в середине книги, очередные крупные достижения анализа выросли из стремления разгадать тайну движения. Как и в случае кривых, на помощь пришел принцип бесконечности. На этот раз пришлось притвориться, что движение с переменной скоростью состоит из бесконечно большого числа бесконечно коротких движений с постоянной скоростью. Чтобы представить, что это значит, вообразите, что вы едете в машине с нервным водителем, заставляющим автомобиль двигаться рывками. Вы с беспокойством смотрите на спидометр, стрелка которого дергается вверх и вниз при каждом рывке машины. Но даже самый резкий водитель не сможет сильно сдвинуть стрелку за миллисекунду, а уж за более короткий, то есть бесконечно малый интервал, – и подавно. Стрелка просто замрет на месте. Никто не способен так быстро нажать на педаль газа.

Эти идеи объединились в более молодой части анализа – дифференциальном исчислении. Это было именно то, что требовалось для работы с бесконечно малыми изменениями времени и расстояния, которые возникали при изучении постоянно меняющегося движения, равно как и для работы с бесконечно малыми прямыми кусочками кривых, появлявшимися в аналитической геометрии – новомодном исследовании кривых, определенных с помощью алгебраических уравнений, – популярной в первой половине 1600-х годов. Как мы увидим позже, одно время алгебра была настоящим поветрием. Ее популярность была благом для всех областей математики, включая геометрию, но она же создала буйные джунгли новых кривых, которые следовало изучить. Таким образом пересеклись загадки кривых и движения. В середине 1600-х они оказались в центре анализа, сталкиваясь друг с другом и создавая математический хаос и неразбериху. Расцвет анализа в этих суматошных условиях не обходился без бурных дискуссий. Некоторые математики критиковали анализ за чересчур свободное обращение с бесконечностью. Другие высмеивали алгебру как простой набор символов. Сопровождаемый всеми этими препирательствами прогресс анализа был медленным и нестабильным.