φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - страница 22

Рис. 11

Прежде всего, посмотрите на квадрат на рис. 11, сторону которого мы примем за единицу. Если мы хотим найти длину диагонали, можно при помощи теоремы Пифагора вычислить гипотенузу любого из двух прямоугольных треугольников, на которые разделен квадрат. Вспомним, что теорема гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. Пусть длина гипотенузы – d, тогда d^>2 = 1^>2 + 1^>2, а следовательно, d^>2 = 2. Если мы знаем квадрат числа, то само число можем найти, если извлечем квадратный корень. Например, если мы знаем, что квадрат числа X равен 25, то X = 5. Следовательно, из d^>2 = 2 мы выводим, что d = √2. Итак, отношение диагонали к стороне квадрата равно квадратному корню из 2. (Карманный калькулятор подскажет, что √2 = 1,41421356…) А теперь нам хочется показать, что √2 невозможно выразить соотношением двух целых чисел (а следовательно, это иррациональное число). Задумайтесь на минуту: сейчас мы докажем, что хотя в нашем распоряжении бесконечное множество целых чисел, но как бы мы ни искали, нам никогда не найти двух таких, чтобы их отношение точно равнялось √2! Это же просто поразительно!

Вот как выглядит доказательство «от противного» в данном случае. Начнем мы с того, что предположим, что верно противоположное тому, что мы стремимся доказать, а именно предположим, что на самом деле √2 равен какому-то отношению двух целых чисел a и b, то есть √2 = a/b. Если у a и b есть общие делители, как, например, у 9 и 6 есть общий делитель 3, можно упростить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на эти делители, пока мы не получим два числа p и q, у которых общих делителей уже нет. (В примере с 9 и 6 это превратит 9/6 в 3/2). Очевидно, что не может быть такого, чтобы и p, и q были четными (иначе у них был бы общий делитель 2). Следовательно, наше предположение состоит в том, что p/q = √2, причем p и q – числа, у которых нет общих делителей. Теперь возводим обе части равенства в квадрат и получаем p^>2/q^>2= 2. Далее умножаем обе части равенства на q^>2 и получаем p^>2 = 2 q^>2. Обратите внимание, что правая часть равенства, что совершенно очевидно, четное число, поскольку представляет собой какое-то число q^>2, умноженное на 2, а это всегда дает четное число. Поскольку p^>2 равно четному числу, p^>2 тоже четное число. Однако если квадрат числа – четное число, значит, и само это число тоже четное (напомню, что квадрат – это число, умноженное само на себя, а при умножении нечетного числа на себя результат будет нечетным). Таким образом, мы доказали, что число p – четное. Вспомним, что это значит, что q должно быть нечетным: ведь у p и q нет общих делителей. Однако если p четное число, значит, его можно записать в виде p = 2r, ведь у четного числа должен быть делитель 2. А следовательно, вышеуказанное уравнение p^>2 = 2 q^>2 можно записать в виде (2r)^>2 (мы просто заменили p на 2r), то есть поскольку (2r)^>2= (2r) × (2r)] 4r^>2 = 2 q^>2. Теперь разделим обе части равенства на 2 и получим 2r^>2 = q^>2. Однако из этого следует – по тем же логическим выкладкам, которые мы только что применяли, – что q^>2 – четное число (поскольку равно дважды повторенному другому числу), а следовательно, и q – тоже четное число. Однако отметим, что выше мы доказали, что q должно быть нечетным! Итак, мы пришли к очевидному логическому противоречию – доказали, что число должно быть и четным, и нечетным одновременно. Этот факт показывает, что наше первоначальное предположение – что существуют два целых числа