Условие резонанса: диаметр сферы = n·L/2,
где n – целое число.
Применение в электромагнитных и акустических резонаторах
Псевдосфера обладает потенциалом для моделирования замкнутых резонаторов для электромагнитных и акустических волн, особенно благодаря своей способности удерживать энергию за счет своей геометрии. Исследования показывают поведение электромагнитных волн и частиц (например, электронов в графене) на псевдосфере Бельтрами, изучаются такие явления, как релятивистские уровни Ландау и квантовый эффект Холла в присутствии магнитных и электрических полей.
Также изучается использование графеновых листов в форме псевдосферы Бельтрами в качестве аналогов искривленных пространств-времен для обнаружения эффектов Хокинга-Унру. В акустических резонаторах псевдосферическая геометрия также демонстрирует интересные свойства, спектральное упорядочение собственных мод выявляет отрицательную кривизну, подтверждая, что звук гиперболического барабана отличается от звука евклидова барабана.
Аналогии в волновой динамике с явлениями черных дыр
Существует аналогия между волновой динамикой на псевдосфере и явлениями черных дыр, особенно в отношении «захвата» энергии из-за хаотического рассеяния, где геодезические линии ведут себя как в гиперболическом пространстве. Высокая добротность (Q-фактор) резонаторов может быть обусловлена многократными отражениями внутри искривленной структуры.
Проводится аналогия с горизонтом событий черной дыры, где энергия, попавшая внутрь псевдосферы, может с трудом покинуть ее из-за геометрии. Исследования графена в форме псевдосферы Бельтрами также проводятся как аналог черной дыры для обнаружения излучения, подобного излучению Хокинга.
3.2. Новый класс псевдоповерхностей с переменной отрицательной кривизной 2-го порядка
Одним из ключевых достижений геометрической волновой инженерии (ГВИ) стало формирование нового класса псевдоповерхностей, обладающих переменной (то есть не постоянной) отрицательной Гауссовой кривизной и аксиальной симметрией. Эти поверхности представляют собой обобщения классической псевдосферы Бельтрами и реализуются путём вращения специально сконструированного профиля вокруг оси, смещённой относительно оси симметрии. В результате формируются сложные геометрические тела, способные управлять волновым фронтом не только глобально, но и на локальных участках, что создаёт новые возможности фокусировки, направленной передачи и пространственной локализации волн.
К данному классу относятся:
– Псевдопараболоид 2-го порядка.
– Псевдогиперболоид 2-го порядка.
– Псевдоэллипсоид 2-го порядка.
Каждая из этих поверхностей сохраняет ключевые принципы нелокальной геометрии гиперболических (K < 0) структур, но дополнительно вводит асимметрию, масштабируемость и возможность вариативного управления геодезическими траекториями. Они не являются поверхностями постоянной отрицательной кривизны, как в случае идеальной псевдосферы, однако их пространственная структура тщательно спроектирована таким образом, чтобы сохранять основные гиперболические свойства с добавлением новых функциональных характеристик.
Общие геометрические и функциональные черты представителей этого класса:
– Все поверхности формируются вращением образующего профиля, представляющего собой композицию двух кривых, обеспечивающих плавное, но контролируемое изменение кривизны по высоте и радиусу.
