Логика Аристотеля. Том 5. Комментарии на «Аналитику» Аристотеля - страница 52

Другой способ, более механический, как говорит Париск, следуя Аполлонию Пергскому:

Пусть даны две прямые AB и BC, причем AB вдвое больше BC. Требуется найти две средние пропорциональные.

Построим прямоугольный параллелограмм AC, проведем диагонали AC и BD, продолжим BD и BC до точек F и G. Через точку D проведем прямую FG так, чтобы EF стала равна EG.

Утверждаю, что для прямых AB и BC две средние пропорциональные – это CG и AF.

Проведем из E прямую EH, параллельную AB. Поскольку треугольник EBC равнобедренный и EH перпендикулярна BC, то BH равна HC.

Так как BC разделена в точке H пополам, и к ней прибавлена прямая CG, то квадрат BG·GC плюс квадрат HC равен квадрату HG.

Добавим общий квадрат EH: тогда квадрат BG·GC плюс квадраты CH и HE равен квадратам EH и HG. Но квадраты CH и HE равны квадрату CE, а квадраты EH и HG равны квадрату EG.

Следовательно, квадрат BG·GC плюс квадрат CE равен квадрату EG.

Аналогично, квадрат BF·FA плюс квадрат AE равен квадрату EF. Но EF равна EG, поэтому квадрат BG·GC плюс квадрат CE равен квадрату BF·FA плюс квадрату AE.

Но квадрат EC равен квадрату EA (так как они равны). Остается, что квадрат BG·GC равен квадрату BF·FA.

Как доказано в 14-й теореме шестой книги, для равносторонних и равноугольных параллелограммов стороны, прилежащие к равным углам, обратно пропорциональны: как BF относится к BG, так CG относится к AF.

Но как BF относится к BG, так FA относится к AD и CD к CG. Следовательно, как DC относится к CG, так CG относится к AF и AF к AD.

Но DC равна AB, а AD равна BC. Поэтому как AB относится к CG, так CG относится к AF и AF к BC.

Таким образом, для двух данных прямых AB и BC найдены две средние пропорциональные CG и FA.

Как нужно умножать объем на объем?

Пусть даны две прямые A и B, причем A вдвое больше B. Найдем две средние пропорциональные C и D так, чтобы отношение A к C было равно отношению C к D и D к B.

Утверждаю, что квадрат A вдвое больше квадрата C.

Поскольку A относится к B в тройном отношении, чем A к C (так как подобные объемы относятся друг к другу в тройном отношении соответствующих сторон), то как A относится к B, так квадрат A относится к квадрату C.

Но A вдвое больше B, следовательно, квадрат A вдвое больше квадрата C.

p. 75b17 Ни если что-либо присуще линиям, не поскольку они линии и не поскольку [это вытекает] из их собственных начал.

Ибо если бы, говорит он, прямая называлась прекраснейшей из линий, то, поскольку красота не присуща ей как линии самой по себе (ибо она присуща многим другим), геометру не подобает рассуждать об этом. В качестве примера он назвал прямую прекраснейшей из линий, ибо окружность, говорят, есть прекраснейшая из линий, потому что она однородна и всякая её часть совпадает с любой другой. Подобным же образом, если бы окружность называлась противоположной прямой, и это не дело геометра – утверждать такое, ибо не поскольку они линии, присущи им красота или противоположность, ибо это присуще многим другим. Поэтому доказательная наука не принимает такие [утверждения], поскольку они не являются причинными и не первичны для рассматриваемого рода.

p. 75b91 Ясно также, что если посылки, из которых строится умозаключение, общие, то и заключение необходимо вечно.

Отсюда он хочет показать, что ничто из преходящего не может быть доказано. Доказывает же он это исходя из ранее доказанного: если доказательства строятся из того, что присуще самому по себе и с необходимостью, то невозможно доказать что-либо из преходящего, ибо преходящее относится не к необходимому, а к тому, что иногда есть, а иногда нет. Если же доказано, что доказательства исходят из необходимых посылок, а из необходимых посылок с необходимостью следует и заключение (ибо если заключение необходимо, то показано, что посылки могут быть возможными; однако если посылки необходимы, невозможно, чтобы заключение не было необходимым), то, следовательно, если доказательства исходят из необходимых посылок, а из необходимых посылок следует вечное заключение, то ничто из преходящего не может быть доказано. Ибо если бы доказываемое было преходящим, то, поскольку в заключении или в проблеме необходимо, чтобы подлежащий термин был тем же, что и в меньшей посылке, а если проблема преходяща, то, конечно, и подлежащий термин в ней преходящ, то этот же термин должен подлежать и в меньшей посылке. Но то, что сказывается о преходящем, не присуще ему с необходимостью и не само по себе, ибо может как присуществовать, так и не присуществовать. Поэтому и меньшая посылка не будет ни само-по-себе-принадлежащей, ни общей. Ибо большую посылку во всяком умозаключении необходимо всегда брать как общую. Но если проблема преходяща, как сказано, то и меньшая посылка необходимо преходяща, и потому сказываемое не присуще ей ни само по себе, ни как общее, ибо может иногда и не присуществовать. Таким образом, если меньшая посылка не необходима, то и заключение будет преходящим, а не необходимым. Следовательно, невозможно, чтобы существовало доказательство преходящего, но, как сказано, доказательства относятся к тому, что присуще с необходимостью и как общее.