Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - страница 26

Четвертое утверждение практически равнозначно: если четырехугольник вписан в окружность, каждая из его диагоналей проходит через центр окружности. Этот вывод, надо признать, не производит сильного впечатления. Но, поданный в иной равнозначной формулировке, он становится, по признанию многих, самой красивой теоремой элементарной геометрии: угол, вписанный в полуокружность, есть прямой угол. Инвариантность, неизменность угла, вне зависимости от места вершины угла на полуокружности, восхищала Данте.

Каждое из приведенных четырех утверждений становится интуитивно очевидным, что явствует в процессе исследования простой фигуры, вроде тех, что ребенок играючи способен нарисовать на поверхности. Все четыре могли быть известны задолго до VI века до н. э., когда впервые в истории их внимательно рассмотрели, но не глазами безучастного ребенка, а пристальным взглядом мудрого человека.

Подобно многим, видевшим справедливость данных утверждений, Фалес также полагал, что очевидность эта интуитивная в смысле видимой «истины». Далее, вполне вероятно, он стал сомневаться в неизбежности столь простых истин в геометрии. Что мы подразумеваем, когда говорим: утверждение о фигуре, составленной из прямых линий, справедливо? Если Фалес и не так формулировал вопрос самому себе или никак его не формулировал, дальнейшее его поведение свидетельствует, что он все-таки сомневался. О действиях Фалеса нам придется судить по записям греческих историков, составивших эти записи много позже того времени, когда Фалеса уже не волновали проблемы прямых линий и окружностей. Историки немногословны, вплоть до неясности, но важно, что именно Фалес ввел абстракцию и доказательства в изучение линий как прямых, так и изогнутых. Доказательство придало значимость справедливости утверждений, как только оно появилось в геометрии. И позволило Платону и его ученикам вообразить, будто они дали смысл доказательству.

Геометрия Египта и Вавилонии еще не оторвалась от своих сугубо утилитарных корней, когда Фалес привез ее в Грецию. Она продолжала в основном заниматься эмпирическими правилами исчисления площадей и объемов.

Предположение о паре равных углов, созданных двумя пересекающимися прямыми линиями, едва ли пришло бы в голову практичным умам, занятым строительством пирамид и рытьем каналов. И все же это предположение часто требуется при доказательстве других предположений, которые ни очевидны, ни бесполезны. Это справедливо и для идеальных абстрактных линий в геометрии, не предназначенных для простых практичных умов, которые не воспринимают их серьезно. В переходе от конкретики чувственного опыта к абстракции идеальных конструкций Фалес совершил прорыв в вечность, опередив своих современников на тысячи лет и целую вселенную.

Вторым его столь же эпохальным деянием стало предположение о том, что некоторые абстракции геометрических фактов, выявленных обычным наблюдением, могут быть выведены из абстракций фактов простейшего уровня, но того же рода. Как утверждают, он «доказал» некоторые из своих теорем «ощутимым», «интуитивным» или «чувственным» методом египтян, говоря: «Я так вижу». Другие же теоремы, и в этом кардинальное отличие для развития науки, математики и философии, он, по описанию, «доказал», или попытался прийти к доказательству «абстрактным», «обобщенным» или «универсальным» методом классических греческих математиков. Вольное толкование последних оправдано обстоятельствами, при которых это было сделано. Адресованы тексты были греческим математикам, жившим много позже Фалеса. Для этих людей греческий метод доказательства означал только прямые дедуктивные рассуждения.