Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность - страница 7

«Постройте график исходя из уравнения» – знакомое домашнее задание. Я и сам его задавал. Кроме того, это зародыш порочного мифа: якобы графики являются самоцелью. На самом деле их построение не похоже на решение уравнений или выполнение операций. График – это не конечный пункт, а всегда не более чем средство.

График – это способ визуализировать данные, картинка, которая рассказывает историю. Он представляет собой еще одну могущественную стратегию чтения математических текстов: превратить статику в динамику.

Возьмем уравнение, приведенное выше: y = 1/x². Здесь x и y – пара взаимосвязанных чисел. Вот несколько примеров:

Уже просматривается несколько закономерностей. Но чем лучше наши технические приемы, тем больше мы видим, и таблицы – не модный инструмент. Из бесконечных пар x – y, которые подходят нашему уравнению, таблица, как бегущая строка биржевых индексов, может показать всего лишь несколько. Нам нужен инструмент визуализации получше: математический аналог телевизионного экрана.

На сцене появляется график.

Рассматривая x и y как своего рода широту и долготу, мы преобразуем каждую неосязаемую пару чисел в нечто геометрическое – точку. Бесконечное множество точек становится непрерывной кривой линией. И тогда возникает история, рассказ о движении и изменении.

● Когда x уменьшается, стремясь к нулю (^>1/_>5,^>1/_>60,^>1/_>1000…), y раздувается до немыслимых величин (25, 3600, 1 000 000…).

● Если x увеличивается (20, 40, 500…), y скукоживается до микроскопических чисел (^>1/_>400,^>1/_{>16 000},^>1/_{>250 000}…).

● Когда x принимает отрицательные значения (–2, –5, –10), y остается положительным. Он никогда не спускается ниже нуля.

● Ни одна из величин не может быть равна нулю.

Окей, возможно, это не самая сочная сюжетная линия, но такие умственные упражнения показывают разницу между математиком-новичком (он видит парализующий поток бессмысленных символов) и опытным математиком (он видит нечто слаженное и дружелюбное). Графики наполняют безжизненные уравнения ощущением движения.

Есть психологический феномен, известный под неприятным названием чанкинг. Это не просто способ очистить организм после чрезмерного количества пива[21], но и мощная ментальная техника, необходимая математикам. Очередная стратегия чтения математических текстов.

Чанкинг означает, что мы интерпретируем набор разрозненных, ускользающих деталей как единое целое. Приведенное выше уравнение – хороший пример. Умелый чанкер игнорирует мелочи слева. Там x или y, 5 или 6, плюс или минус? Не знаю, без разницы. Вместо этого вы видите просто два множителя, формирующих скелет уравнения: чанк умножить на чанк равно нулю.

Если вы знакомы с таблицей умножения, вы знаете, что ноль – это своеобразный результат.

6 × 5? Не ноль.

18 × 307? Не ноль.

19,91632 × 4 600 000 000 000? Нет смысла открывать калькулятор на вашем смартфоне: это тоже не ноль.

Ноль – единственное в своем роде число в мире умножения. В отличие от числа, скажем, 6, которое можно разложить на множители различными способами (3 × 2, 1,5 × 4, 1200 × 0,005…), ноль – особая, своенравная величина. На самом деле есть всего один способ получить ноль, перемножая два числа: если одно из них само по себе равно нулю.

Здесь окупается наша стратегия дробления: один из множителей равен нулю. Таким образом, x равен либо 5, либо 7.

Уравнение решено.

Чанкинг прочищает не только наши желудки, но и наши умы. Он делает мир удобоваримым. Чем больше вы узнаете, тем агрессивнее вы чанкаете. Старшеклассник может прочанкать целую строку алгебраических символов и понять, что это формула площади трапеции. Старшекурсник может прочанкать несколько дремучих строчек вычислений и увидеть, что это формула объема твердого тела вращения. Аспирант прочанкает полстраницы грозных греческих букв и сделает вывод, что речь идет о вычислении хаусдорфовой размерности множества. Чем выше ваш уровень, тем больше вы узнаете. Что такое трапеции? Как ведут себя интегралы? Что курил Хаусдорф