Если бы эта работа не пролежала целое столетие в безвестности, содержащиеся в ней обобщения, касающиеся вероятностей в играх, могли бы значительно ускорить развитие математики и теории вероятностей. Здесь впервые сформулировано общепринятое теперь представление вероятности через отношение числа благоприятных исходов к «совокупности» (circuit), то есть к общему числу возможных исходов. Например, когда мы говорим, что шансы выбрасывания орла или решки составляют >50/>50, это значит, что орел выпадает в одном из двух равновозможных случаев. Вероятность достать даму из колоды карт составляет >1/>13, поскольку в колоде из 52 карт имеется четыре дамы; вероятность же достать даму пик равна >1/>52, поскольку в колоде только одна дама пик.
Последуем за Кардано в его рассмотрении вероятностей различных результатов бросков при игре в кости[19]. В главе 15 его «Liber de Ludo Aleae», в параграфе, озаглавленном «О выбрасывании одной кости», он проясняет некоторые общие принципы, ранее никем не рассматривавшиеся:
Частоты появления значений, относящихся к каждой из двух половин числа граней, одинаковы; отсюда шансы, что данное значение выпадет в трех бросках из шести, равны шансам, что одно из трех заданных значений выпадет в одном броске. Например, я могу легко выбросить один, три или пять, так же как два, четыре или шесть. Ставки должны соответствовать этому равенству, если игра ведется честно>14.
Далее Кардано продолжает вычислять вероятность того, что в одном броске выпадет одно из двух чисел, скажем 1 или 2. Ответ: один шанс из трех, или 33 %, поскольку речь идет о двух исходах из шести возможных. Он также подсчитывает вероятность повторения благоприятных исходов при бросании одной кости. Вероятность того, что в двух бросках подряд выпадет 1 или 2, равна >1/>9, то есть квадрату одного шанса из трех, или >1/>3, умноженной сама на себя. Вероятность того, что в трех бросках подряд выпадет 1 или 2, равна >1/>27, или >1/>3 × >1/>3 × >1/>3, а вероятность выбросить 1 или 2 в четырех бросках подряд равна >1/>3 в четвертой степени.
Кардано продолжает определять вероятность выбросить 1 или 2 с двумя костями вместо одной. Если шансы, что в одном броске выпадет 1 или 2, оцениваются как один к трем, интуиция подсказывает, что при бросании двух костей они удвоятся и достигнут 67 %. Правильным ответом будет соотношение пять к девяти, или 55,6 %. Действительно, при выбрасывании двух костей есть один шанс из девяти, что 1 или 2 выпадут сразу на двух костях в одном броске, но вероятность того, что на каждой кости выпадет 1 или 2, уже подсчитана ранее; значит, мы должны вычесть 1/9 из 67 %, предсказанных нами на основе интуиции. Отсюда 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9.
Далее Кардано углубляется в игры с большим числом костей и большим числом успешных исходов при большем числе бросков. В конце концов это исследование приводит его к обобщению законов о шансах, которое превращает экспериментальный результат в теорию.
Он рассматривает принципиальный переход от бросков одной кости к броскам с двумя костями. Еще раз, но более детально, проследим за его рассуждениями. Хотя две кости имеют в сумме двенадцать граней, Кардано в случае двух костей не определяет вероятность выбрасывания 1 или 2, исходя из предположения, что число возможных исходов равно двенадцати. Он замечает, что игрок может, например, выбросить 3 на первой кости и 4 на второй, но точно так же он может выбросить 4 на первой кости и 3 на второй.
