Судьба Адъютанта Его Превосходительства - страница 6

Прямо противоположную точку зрения занимает современная математика. Отвергнув безусловную обязательность Архимедова принципа, она не только признала математическую правомерность понятия бесконечного, но вместе с тем провозгласила его руководящим началом, основным методом всех применяемых ею способов счисления. Прежде бесконечное мыслилось как понятие преимущественно отрицательное, уничтожающее и поглощающее в себе определенность (измеримость) конечного. Теперь оно приобрело новое положительное значение: высшего начала, порождающего из себя и определяющего собою мир бесконечного бытия.

Впервые право гражданства в математике было признано за понятием бесконечного Лейбницем, у которого оно и получило в дифференциальном счислении точную математическую формулировку. Правда, первоначально в более узком значении бесконечно малого. Дифференциал, как бесконечно малое, – согласно определению Лейбница, – есть то, что предшествует всякому протяжению, что само еще не есть количество, но вместе с тем уже заключает в себе закономерность всякого количества и всякого протяжения. Новейшие исследования Кантора, Веронезе и др. не только подтвердили, но и значительно расширили и обобщили установленное Лейбницем положение. Они показали, что не только бесконечно малому, но и в такой же мере и бесконечно большому может быть присвоено строго определенное математическое значение, что введение принципа бесконечного в математику значительно расширяет круг доступных ей проблем и открывает ей путь к обнаружению тех основных методологических нитей, которые могли бы связать все ее разрозненные части в одно стройное систематическое целое.

Где же логические корни научной плодотворности этого принципа и каково вообще логическое значение того внутреннего преобразования, которое испытала под его влиянием математика? – Вполне справедливо указывают на то, что современная математика, в противоположность античной, отличается качественным, а не количественным характером. Действительно, сущность числа она усматривает не в его количественной исчислимости, а в свойственной ему качественной закономерности. Ибо однозначная определенность и отличимость числа обусловлена исключительно этой качественной закономерностью и не зависит вовсе от его количественная значения (его конечности или бесконечности). Всякое число необходимо входит, как член, в какой-нибудь закономерно построенный ряд чисел и занимает в нем определенное место. Если известен закон ряда и даны отношения искомого числа к остальным его членам, т. е. отношения, которыми обусловливается занимаемое им в данном ряде место, то, независимо от его количественного значения, выполнены все условия, которые необходимы и вместе с тем достаточны для его полного и исчерпывающего определения. Количественные же значения математических чисел и величин (их исчислимость и измеримость) представляют лишь частные случаи их качественных значений и потому применимы только в пределах конечного. Что это так, т. е. что принцип Архимеда, действительно, не охватывает всей сферы математического бытия, а имеет силу лишь в ограниченной ее части, явствует уже из того, что, даже оставаясь в границах конечных рациональных чисел, математика сплошь и рядом наталкивается на такие задачи, которые без выхождения за пределы конечного либо вовсе неразрешимы, либо разрешимы только при допущении некоторой погрешности, противоречащей самому существу математики как точной науки (например, когда в результате арифметических действий над конечными рациональными числами получаются иррациональные или мнимые числа). Вместе с введением принципа бесконечного в математику сразу устраняются все эти затруднения. Sub specie infiniti раскрывается полная независимость основных законов математического объекта от его количественных определений, математика освобождается от условных ограничений, которые налагает на нее сфера конечного, и понятие числа, благодаря сведению всех количественных определений к обосновывающим их качественным закономерностям, расширяется до тех пределов, которые отвечают его истинной логической сущности. Только при помощи этого нового орудия – принципа бесконечного – математика прокладывает себе путь к исчерпывающему анализу понятия числа и установлению всех вообще возможных его разновидностей. Прерывность дискретного числа растворяется теперь в сплошности непрерывных величин, и единый ряд целых рациональных чисел разрастается в целую систему рядов чисел, связанных между собою постепенностью переходов и строго определенною закономерностью взаимных отношений. Словом, повсюду, где царила простая рядоположность и случайная разрозненность, водворяется теперь непрерывная связность и систематическая законченность.