Решения уравнения падения тел на Земле были тривиальны, потому что расстояния от центра массы любого тела до центра Земли при падении меняется настолько мало, что силу притяжения можно с огромной точностью считать постоянной. По этой причине и приобретаемое телом ускорение свободного падения тел будет постоянным, равным примерно 9,81 метра в секунду за секунду. Скорость же в течение процесса падения будет линейно возрастать со временем, а пройденное расстояние будет возрастать квадратично от времени. Для написания уравнений такого движения достаточно элементарного курса алгебры.
Картина принципиально меняется, если сила в процессе движения меняется. В этом случае для описания связей между временем и динамическими параметрами – расстояние, скорость, ускорение – алгебры недостаточно. Ньютону пришлось изобрести совершенно новую математику – исчисление флюксий, которое позднее было названо дифференциальным исчислением, а уравнения динамики произвольного движения оказались дифференциальными уравнениями. Именно эти первые уравнения заложили основы новой науки – уравнений математической физики.
Начала Ньютона были развиты блестящими математиками д’Аламбером, Лагранжем, Гамильтоном и другими, в результате чего появилась аналитическая механика. Мопертюи и Лагранж положили в основу аналитической механики так называемый вариационный принцип наименьшего действия, на основе которого были выписаны универсальные уравнения динамики (уравнения Лагранжа), которые позднее были использованы для описания динамики движения под действием не только механических, но и электромагнитных сил. Ещё позже Гамильтон написал свою, эквивалентную лагранжевой систему уравнений, которые великолепно описывали релятивистскую механику специальной теории относительности. Когда дифференциальное исчисление было дополнено интегральным, принцип Мопертюи-Лагранжа зависывался в виде интеграла от величины, называемой действием.
В законченном виде уравнения математической физики допускали эквивалентные описания на трёх разных языках математики: в виде дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных представлений теории потенциала и вариационных уравнений, которые соответствуют минимизации функционала энергии физической системы.
Позднее было выяснено, что наличие симметрии функций Лагранжа или Гамильтона порождает закон сохранения, который имеет вид уравнения более простой структуры, чем исходные дифференциальные уравнения Лагранжа и Гамильтона, что позволяет получать их решения более простым способом. Каждый тип симметрии порождает свой, отдельный закон сохранения. Наиболее известными являются законы сохранения энергии, испульса, момента импульса, полных зарядов и токов.
Гуриваныч ещё в молодые годы подметил, что уравнения динамики Ньютона имеют так называемую феноменологическую симметрию, что позволяет выписать нечто вроде закона сохранения в тензорном виде относительно неизвестных функций, описывающих свойства физической системы. Затем подобные свойства симметрии были найдены для уравнения электрических цепей. Структура уравнений для этого случая отличалась лишь размерностью тензора. Более подробные исследования свойств феноменологической симметрии других систем были изучены его учеником Григорием Павлюченко, который основал новый раздел математики – исчисление эскортов. Так был открыт принципиально новый язык описания физических систем. Проблема была в том, что не было общего метода обнаружения свойств феноменологической симметрии для произвольных физических систем.
