Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели - страница 4

∫, ▽ или ↘. Помочь в вызове дьявола эти письмена то ли способны, то ли нет, но чтобы придать им какой-либо практический смысл обычно требуется примерно 200 лет.*/

Числа египтяне записывали похоже на известные нам римские числа. Единицы – палочки. Десяток объединяли в символ в виде подковы. Сотню в символ в виде завитка. И так далее. Были символы для тысячи, десяти тысяч, сотни тысяч, миллиона. То есть система счисления у них десятичная, но цифры и, соответственно, позиционная запись числа еще не появляются. (Единицы, кстати, слева, потом десятки и т.д.). В такой системе записи удобно числа складывать (все символы записываем вместе, при необходимости 10 символов одного вида меняем на следующий). И удобно числа умножать на 2 (складывая само с собой). Вычитать (меньшее из большего, конечно) – тоже вполне легко. А большее из меньшего вычитать им не могло и в голову прийти!

Рисунок 2.1: Два примера на умножение из папируса Ринда

А вот как египтяне умножали числа. (См.рис.2.1) Они число удваивали несколько раз и записывали результаты. В правой колонке – на что уже умножили. В левой – результат. Так удваивали до тех пор, пока сумма некоторых чисел в правом столбце не даст второй сомножитель. И складывали соответствующие числа из левой колонки.

Левый пример на рисунке как раз иллюстрирует такую типичную запись. Нам нужно посчитать 12 × 12. Удваиваем 12 несколько раз.

121=12, 122=24, 124=48, 128=96.

Тут мы замечем, что 12=4+8 (12 – число, на которое нам надо умножить; 4 и 8 – на которые мы уже умножили), и поэтому результат умножения получится 48+96=144.

Как мы видим, умножать – не такой уж легкий труд! А кроме того, египтяне при умножении фактически пользовались и двоичной записью числа.

Но иногда можно было использовать умножение на 10 сразу. На 10 ведь умножать легко. Просто все символы заменить на бóльшие. И тогда еще можно умножить на пять (поделить удесятеренное число пополам).

Правый пример на картинке как раз иллюстрирует атипичную запись, использует умножение на 10 и на 5. Нам нужно посчитать 13×16.

131=13, 1310=130, 135=65.

Поскольку 16=10+5+1, то результат умножения 130+65+13=208.

/*При таком умножении очевидно, что коммутативность умножения (то есть то, что от перестановки мест сомножителей произведение не меняется) – штука дааааалеко не очевидная! Чтобы ее заметить, надо быть очень опытным писцом. Практически, математическое открытие!*/

Как писцы выбирали метод умножения – неизвестно. Почему на 16 приведен пример в папирусе с умножением на 10 и на 5 (а не 4 раза удвоение) – непонятно. Почему на 12 нельзя было умножить на (10+2) – непонятно. То есть, никакого четкого алгоритма в их действиях, вообще говоря, не было. Хорошо, что умножение – это вам не бином Ньютона, все не мытьем так катаньем получалось рано или поздно. В папирусах, собственно, ничего не объяснялось. Просто разбирались примеры. /*Делай так, и будет тебе счастье!*/

Рисунок 2.2: Пример на деление из папируса Ринда

/*А попробуйте сами для прикола произвести какие-нибудь умножения по-египетски. Ну, напирмер, 23 на 25. Спорим, в процессе вам волей-неволей захочется воскликнуть что-то типа: «Да, ёшкин кот, египетский бог!»*/

Обратите внимание также на закорючку в виде закрытого и запечатанного списка (возможно, именно она позднее трансформировалась в символ равенства) – она ставится перед ответом и означает, что вычисление, собственно, выполнено. Свиток запечатан, получите, распишитесь.