Загадки, фокусы и развлечения (сборник) - страница 11

10737418 р. 23 коп.

Без малого 11 миллионов… А ведь началось с одной копейки! Незнакомец мог бы приносить даже по сто тысяч в день – и все-таки не прогадал бы.

Прежде чем кончить с этой историей, покажу еще, каким способом можно облегчить подсчет убытков миллионера, т. е. как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 и т. д.

Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:

2 = 1 + 1

4 = (1 + 2) + 1

8 = (1 + 2 + 4) + 1

16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1

32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1

и так далее.

Мы видим, другими словами, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, да еще одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа ряда, например, от 1 до 32768, то мы лишь прибавляем к последнему числу (32768) сумму всех предыдущих (т. е. 32768 – 1). Получаем 65535.

Этим способом мы можем подсчитать убытки нашего миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний день. Его последний платеж был 5368709 р. 12 коп. Поэтому, сложив 5368709 р. 12 коп. и 5368709 р. 11 коп., получаем сразу искомый результат: 10737418 р. 23 к.

Удивительно, как быстро расходятся по городу слухи! Иной раз и двух часов не пройдет со времени какого-нибудь интересного происшествия, случившегося на глазах всего нескольких зрителей, – а новость уже облетела весь город: все о ней знают, все слыхали.

Эта необычайная быстрота кажется поразительной, прямо загадочной. Однако, если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного и непостижимого здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не какими-то таинственными особенностями самих слухов.

Для примера рассмотрим хотя бы такой случай. В губернский город приехал в 8 часов утра житель столицы и привез с собою свежую, всем интересную новость. В гостинице, где приезжий остановился, он сообщил эту новость только троим местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.

Итак, в 8 ^>1/_>4 часа утра новость была известна всего только четверым людям: приезжему и трем местным жителям.

Узнав интересную новость, каждый из троих граждан поспешил рассказать ее 3-м другим. Это потребовало, допустим, также четверти часа – срок не слишком короткий для передачи слуха. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + 3 x 3 = 13 человек.

Каждый из 9-ти вновь узнавших в такой же срок поделился с 3-мя другими гражданами, так что к 8 ^>3/_>4 часам утра новость стала известна

13 + 3 x 9 = 40 гражданам.

Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый узнавший про новость успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:

в 9 час. новость узнают 40 + 3 x 27 = 121 челов.

в 9 ^>1/_>4 час. новость узнают 121 + 3 x 81 = 364 челов.

в 9 ^>1/_>2 час. новость узнают 364 + 3 x 243 = 1093 челов.

Спустя полтора часа от начала движения слуха новость будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для города с населением в 50.000, и можно, пожалуй, подумать, что новость не скоро еще станет известна всем его жителям. Однако проследим далее за движением слуха:

в 9 ^>3/_>4 час. новость узнают 1093 + 3 x 729 = 3280 челов.

в 10 час. новость узнают 3280 + 3 x 2187 = 9841 челов.

Еще спустя четверть часа – уже больше половины города будет посвящено в новость:

9841 + 3 x 6561 = 29524.