Порядок точек на прямой является в математической терминологии плотным порядком; термин «плотный» означает, что для любых двух участвующих в этом упорядочении объектов, каковыми в данном случае служат точки прямой, найдётся объект (в данном случае точка) между ними. В окружающем нас материальном мире плотных порядков не встречается.
Вот другой пример на ту же тему. Одной из математических абстракций является пустое множество. Само понятие 'множество', подобно понятию 'натуральное число', представляет собой одно из первичных, неопределяемых математических понятий, познаваемых из примеров. Синонимом математического термина «множество» является слово «совокупность»; объекты, входящие в какую-либо совокупность, она же множество, называются её (соответственно его) элементами.
Слово «множество» может навести на мысль, что в множестве должно быть много элементов, тем более что главное, общеупотребительное значение этого слова действительно выражает данную мысль, как, например, во фразе «Можно указать множество причин…». Эта ложная мысль разрушается уже заявлением, что «множество» (в математическом смысле) и «совокупность» суть синонимы: ведь количество элементов в совокупности может быть и малым. Заметим, кстати, что переводы термина «множество» на французский (ensemble) и на английский язык (set) не содержат идеи 'много'.
Зададимся теперь вопросом, может ли совокупность состоять из одного элемента. Математик ответит категорическим «да». Для гуманитария же минимально возможное количество элементов совокупности – это два. Но математики свободно оперируют и пустым множеством, вовсе не содержащим элементов. На занятиях по математике гуманитарии быстро усваивают это понятие (в частности, соглашаются, что пустое множество единственно: пустое множество крокодилов и пустое множество планет – это одно и то же множество).
Для математика наименьшим числом, служащим ответом на вопрос «Сколько?», является ноль, для нематематика – один. Скажем, если в зоопарке всего лишь один слон, то число один будет естественным ответом на вопрос «Сколько слонов в этом зоопарке?». Хотя нематематик признает число ноль верным ответом на вопрос «Сколько в этом бассейне крокодилов?» и даже, возможно, сам даст подобный ответ, но всё же он, скорее, ответит: «Да нет тут никаких крокодилов!» И уж точно не задаст вопрос «Сколько?», не спросив предварительно: «Есть ли в этом бассейне крокодилы?» – и только после положительного ответа спросит, сколько их.
Как в примере с точками, так и в примере с пустым множеством общение математика с гуманитарием оказывается более поучительным для первого, потому что заставляет его осознать: он, математик, даже в таких простых, казалось бы, вопросах, ушёл в мир абстрактных сущностей и тем самым удалился от общечеловеческого словоупотребления и образа мыслей.
Поэтому математику негоже с высокомерием относиться к высказываниям гуманитария. Напротив, ему полезно осознать, что он приписывает абстракциям свойства, которые в жизни не встречаются. Заметим, что именно неограниченное, а потому незаконное перенесение на математические абстракции слов и смыслов, заимствованных из реальной жизни, и приводит в конце концов к математическим парадоксам, а именно к так называемым парадоксам теории множеств. Эти парадоксы появляются там, где с чрезвычайно высокими абстракциями начинают обращаться как с реальными предметами.
