Диалог математика с гуманитарием о параллельных прямых мы считали бы полезным и поучительным для обеих сторон. Вот ещё пример такого полезного и поучительного диалога:
Математик. Возьмём прямую линию и точку на ней. Существует ли на этой прямой точка, ближайшая к нашей точке и лежащая справа от неё?
Гуманитарий. Да, существует.
Математик. Вы не возражаете, если исходную точку мы обозначим буквой А, а ближайшую к ней справа буквой В?
Гуманитарий. Не возражаю.
Математик. Вы согласны с тем, что любые две различные точки можно соединить отрезком?
Гуманитарий. Согласен.
Математик. Значит, можно соединить точки А и В и получить отрезок АВ. Правильно?
Гуманитарий. Правильно.
Математик. А согласны ли вы с тем, что всякий отрезок имеет середину?
Гуманитарий. Согласен.
Математик. Значит, и у отрезка АВ есть середина. Но ведь эта середина явно ближе к точке А, чем точка В. Меж тем точка В – ближайшая к А. Как быть?
(Гуманитарий не знает, что сказать.)
Математик. Я лишь хотел обратить ваше внимание, что не могут одновременно быть истинными все три утверждения о существованиях: «Для всякого отрезка существует его середина», «Любые две различные точки можно соединить отрезком» и «Для точки на прямой линии существует ближайшая к ней точка справа».
Надо признать, впрочем, что ответ «Да, существует» на вопрос о ближайшей точке даётся хотя и весьма часто, но всё же реже, чем приведённые выше ответы о сущности аксиомы о параллельных и открытии Лобачевского.
Результатом диалога о ближайшей точке должно стать отнюдь не только уяснение гуманитарием того, что для данной точки не существует ближайшей к ней точки справа; несуществование такой точки – это, в конце концов, всего лишь математический факт. Не менее, а скорее даже более важным является уяснение математиком тех деталей психологии гуманитария, которая заставляет его считать, что такая точка существует.
Дело в том, что представление о 'ближайшем' формируется у гуманитария (как и у всякого человека) не на основе изучения такого сложного образования, как континуум точек на прямой, а на основе наблюдений материальных предметов окружающего мира. Наблюдение же, скажем, окон дома или кресел в театральном зале не оставляет сомнений в наличии ближайшего справа окна или кресла. (Предвидя ехидное возражение мелочного педанта, прибавим: если только исходное окно или кресло не является крайним.)
Из сказанного можно сделать такое заключение: наш пример с ближайшей точкой есть конкретное проявление некой общей трудности, имеющей философский характер. Трудность состоит в следующем. Математика изучает идеальные сущности (каковыми являются, в частности, точки), но обращается с ними, как если бы они были реальными предметами физического мира (например, применяет к точкам понятие 'ближайший'). Но в таком случае математик обязан отдавать себе отчёт в том, что подобный квазиматериальный подход к абстракциям, если не сделать специальных оговорок, влечёт за собой перенесение на эти абстракции шлейфа представлений, которые абстракциям не свойственны, а заимствуются из обращения с физическими предметами.
Что до упомянутых «специальных оговорок», они делаются явно, а подсознательно впитываются математиками в процессе их обучения. В случае точек на прямой указанный шлейф включает в себя представление о точках на прямой как о мельчайших бусинах, нанизанных на натянутую нить. Разумеется, в рамках такого представления естественно предполагать наличие ближайшей точки и даже быть уверенным в её наличии.
