Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма - страница 34

Однако о том, что эти задачи очень трудны, мало кто знал и Ферма было понятно, что опубликуй он их решения, то они вообще не произведут никакого впечатления. У него уже был такой опыт и теперь он приготовил настоящий сюрприз. Для тех, кто не оценит по достоинству его решения, он предложит решить ещё одну задачу. Это основная теорема арифметики, имеющая особую значимость для всей науки, поскольку без неё вся теория теряет силу. Ферма обнаружил в доказательстве Евклида ошибку и пришёл к выводу, что доказать эту теорему без применения метода спуска чрезвычайно трудно, если вообще возможно. Однако теперь-то мы можем раскрыть и эту тайну с помощью наших возможностей заглянуть в тайник Ферма с «еретическими письменами» и вернуть его утраченное доказательство науке в виде представленной ниже реконструкции.

Итак, чтобы доказать основную теорему арифметики, предположим, что существуют равные натуральные числа A, B, состоящие из разных простых множителей:

A=B (1)

где A=pp_>1p_>2 …p_>n; B=хx_>1x_>2 …x_>m ; n≥1; m≥1

В силу равенства чисел A, B каждое из них делится на любое из простых чисел p_>i или x_>i. Каждое из чисел A, B может состоять из любого набора простых множителей, в т. ч. и одинаковых, но при этом среди них нет ни одного p_>i равного x_>i, иначе в (1) они были бы сокращены.

Теперь (1) можно представить, как:

pQ = xY (2)

где p, x – минимальные простые числа среди p_>i, x_>i; Q=A/p; Y=B/x .

Поскольку множители p, x разные, условимся, что p>x; x=p–δ_>1, тогда

pQ = (p – δ_>1)(Q + δ_>2) (3)

где δ_>1=p–x; δ_>2=Y–Q

Из (3) следует Qδ_>1=(p – δ_>1)δ_>2 или

Qδ_>1 = xδ_>2 (4)

Уравнение (4) – это прямое следствие предположения (1). Правая часть этого уравнения содержит в явном виде простой множитель x. Однако в левой части уравнения (4) число δ_>1 не может содержать множитель x, т.к. δ_>1=p–x не делится на x из-за того, что p – простое число. Число Q также не содержит множитель x, т.к. по нашему предположению оно состоит из множителей p_>i, среди которых нет ни одного равного x. Таким образом, справа в уравнения (4) есть множитель x, а слева его нет. Тем не менее нет оснований утверждать, что это невозможно, т.к. мы изначально допускаем существование равных чисел с разными простыми множителями.

Тогда остается лишь признать, что если существуют натуральные числа A=B, составленные из разных простых множителей, то необходимо, чтобы в этом случае существовали и другие натуральные числа A_>1= Qδ_>1 и B_>1=xδ_>2; также равные между собой и составленные из разных простых множителей. Если учитывать, что

δ_>1=(p–x)>2=(Y–Q)

то после сопоставления уравнения (4) с уравнением (2) можно констатировать:

A_>1 = B_>1, где A_>1>1

Теперь мы получаем ситуацию, аналогичную ситуации с числами A, B, только с меньшими числами A_>1, B_>1. Анализируя теперь (5) изложенным выше способом, мы будем вынуждены признать, что должны существовать числа

A_>2=B_>2, где A_>2>1; B_>2

Следуя этим путем, мы неизбежно придем к случаю, когда существование чисел A_>k=B_>k, где A_>k>k-1; B_>k>k-1 как прямое следствие предположения (1) станет невозможно. Следовательно, наше начальное предположение (1) также невозможно и таким образом теорема доказана^>41.

Глядя на это очень простое и даже элементарное доказательство методом спуска, естественно, возникают недоуменные вопросы, как же это могло так случиться, что в течение многих веков наука не только это доказательство не получила, но и была в полном неведении, что у неё нет никакого доказательства вообще? С другой стороны, даже заблуждаясь в этом вопросе, т.е. считая, что эта теорема была доказана ещё Евклидом, как наука могла её игнорировать, используя «комплексные числа» и обрекая себя тем самым на разрушение изнутри? И наконец, как же можно объяснить, что эта очень простая, по сути, теорема, на которой держится вся наука, вообще не преподаётся в средней школе?