Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма - страница 32

Рисунок 33

Пирамиды начальных чисел

Самая ранняя из известных версий теоремы дана в «Началах Евклида», книга IX, предложение 14.

Если число будет наименьшим измеряемым <данными> первыми числами, то оно не измерится никаким иным первым числом, кроме первоначально измерявших <его>.

Далее разъясняется: «Пусть число A будет наименьшим измеряемым первыми числами B, C, D; я утверждаю, что A не измерится никаким иным первым числом, кроме B, C, D». Доказательство этой теоремы только на первый взгляд выглядит убедительно, и эта видимость основательности усиливается цепочкой ссылок: IX-14 → VII-30 → VII-20 → VII-4 → VII-2. Однако здесь допущена элементарная и даже очень грубая ошибка. Её суть в следующем:

Пусть A=BCD, где числа B, C, D простые, (первые). Если допустить теперь существование простого E, отличного от B, C, D, и такого, что A=EI, то делается вывод, что в этом случае A=BCD не делится на E. Это последнее утверждение неверно, поскольку теорема ведь ещё не доказана и не исключено, например, BCD=EFGH, где E, F, G, H простые числа, отличные от B, C, D. Тогда

A:E=BCD:E=EFGH:E=FGH,

т.е. в этом случае станет возможно, что число A может делиться на число E и тогда доказательство теоремы опирается на аргумент, который ещё не доказан, поэтому конечный вывод неверный. Та же ошибка может попасть и в другие теоремы, использующие разложение целых чисел на простые множители. Видимо, из-за архаичной лексики «Начал Евклида», даже такой великий учёный как Эйлер не обратил должного внимания на эту теорему, иначе вряд ли бы он стал использовать на практике «комплексные числа», которые ей не подчиняются.

Такая же история произошла и с Гауссом, который, также не заметил этой теоремы в «Началах» Евклида, но всё же сформулировал её, когда в ней возникла необходимость. Формулировка и доказательство Гаусса следующие:

Каждое составное число может быть разложено на простые сомножители только одним единственным образом.

«Если мы предположим, что составное число A, равное a^>αb^>βc^>γ…, где a,b,c,… обозначают различные простые числа, разложимо на простые сомножители ещё и другим способом, то прежде всего ясно, что в этой второй системе сомножителей не может встречаться других простых чисел, кроме a,b,c,…, т.к. составленное из этих последних число A не может делиться ни на какое другое простое число» [17].

Это почти точное повторение ошибочной аргументации в доказательстве Евклида. Но если эта теорема не доказана, то всё построенное на натуральных числах основание науки рушится, а все следствия из определений и аксиом теряют свою значимость. И как же теперь быть? Ведь если с доказательством теоремы не справились такие гиганты науки как Евклид и Гаусс, то куда уж нам-то грешным. Но выход всё-таки есть, и он указан в одном удивительном документе, называемом «Письмо-завещание Ферма».

Это письмо было отправлено Ферма в августе 1659 г. его давнему другу и бывшему коллеге по парламенту Тулузы королевскому библиотекарю Пьеру де Каркави, от которого его получил известный французский учёный Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens), первым возглавивший созданную в 1666 г. Французскую Академию Наук. Здесь мы приведём только отдельные выдержки из письма Ферма, которые нас особенно интересуют [26].

«Сводка открытий в науке о числах. …