Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма - страница 30

Если основное содержание аксиом – это определение границ знаний, относящихся к общепринятым способам представления чисел, то их следует выстраивать как из определения сущности понятия числа, так и с целью обеспечения прочности и устойчивости всего здания науки. До сих пор из-за отсутствия такого понимания способов построения основ знаний вопрос о сущности числа никогда даже и не ставился, а только усложнялся и запутывался. Но теперь, когда он проясняется, причём без каких-либо особенных затруднений, вся наука может получить новый и очень мощный импульс для своего развития. И вот тогда именно на такой прочной основе она приобретает способности с невероятной лёгкостью преодолевать такие сложнейшие преграды, которые в прежние времена, когда понимания сущности числа не было, представлялись науке как совершенно неприступные крепости^>36.

Этот путь впервые был проложен в конце XIX столетия аксиомами Пеано^>37. Мы внесём в них изменения, исходя из нашего понимания сущности числа.

Аксиома 1. Натуральным является число, сложенное из единиц^>38.

Аксиома 2. Единица является исходным натуральным числом.

Аксиома 3. Все натуральные числа составляют бесконечный ряд, в котором каждое следующее число образуется путём прибавления к предыдущему числу единицы.

Аксиома 4. Единица не следует ни за каким натуральным числом.

Аксиома 5. Если какое-либо предложение доказано для единицы, (начало индукции), и если из допущения, что оно верно для натурального числа N, вытекает, что оно верно также для следующего за N натурального числа, (индукционное предположение), то это предложение будет верно для всех натуральных чисел.

Аксиома 6. Кроме натуральных могут существовать и другие производные от них числа, но только в том случае, если они обладают всеми без исключения базовыми свойствами натуральных чисел.

Первая аксиома является прямым следствием определения сущности числа, поэтому у Пеано её просто не могло быть. Теперь эта первая аксиома передаёт смысл определения понятия числа всем остальным аксиомам.

Вторая, четвертая и пятая аксиомы сохраняются как и у Пеано почти без изменений, но из этой новой системы полностью изъята четвертая аксиома Пеано как избыточная. Вторая аксиома имеет тот же смысл, что и первая в списке Пеано, но уточняется, чтобы стать следствием новой первой аксиомы.

Третья аксиома – это новая редакция второй аксиомы Пеано. Понятие натурального ряда дано здесь проще, чем у Пеано, где нужно догадываться о нём через понятие «следующего» числа.

Четвертая аксиома точно такая же, как и третья аксиома Пеано.

Пятая аксиома такая же, как у Пеано, которая считается главным итогом всей системы. По сути, эта аксиома является формулировкой очень ценного для науки метода индукции, который в данном случае позволяет обосновать и построить систему счёта. Однако счёт присутствует в том или ином виде не только в натуральных, но и в любых других числах, следовательно, необходима ещё одна заключительная аксиома.

Шестая аксиома распространяет базовые свойства натуральных чисел на любые производные от них числа, поскольку если окажется, что какие-либо величины, полученные вычислениями из натуральных чисел, противоречат их базовым свойствам, то эти величины не могут относиться к категории чисел.

Вот теперь арифметика получает все предпосылки для того, чтобы иметь статус самой фундаментальной из всех научных дисциплин. С точки зрения сущности счёта всё становится намного проще и понятнее, чем до сих пор. На основе этой обновлённой системы аксиом нет нужды «создавать» одно за другим натуральные числа, а затем «доказывать» для начальных чисел действия сложения и умножения. Теперь достаточно только дать имена этим начальным числам в рамках общепринятой системы счисления.