Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма - страница 37

Теперь, чтобы доказать ЗТФ, предположим обратное, т.е. что существует некое минимальное натуральное число N, представляемое не менее, чем из k+1 k-угольных чисел. Тогда понятно, что это наше предполагаемое число должно находиться между какими-нибудь k-угольными числами m_>i и m_>i+1 и может представляться как

N = m_>i + δ_>1, где δ_>1 = N− m_>i (1)

Вполне очевидно, что δ_>1 должно быть S-числом, поскольку иначе это будет противоречить нашему предположению о числе N. Далее мы поступаем также, как и в нашей пробе с числом 41, т.е. представляем предполагаемое число как

N = m_>i-1 + δ_>2, где δ_>2 = N − m_>i-1

Теперь δ_>2 также должно быть S-числом. И вот так мы будем двигаться по спуску до самого конца, т.е. до

δ_>i-1=N−m_>2 =N−k и δ_>i=N−m_>1=N–1 (2)

Таким образом, в последовательности чисел от δ_>1 до δ_>i все они должны быть S-числами, т.е. каждое из них будет состоять из суммы не менее k k-угольных чисел, в то время как наше предполагаемое число N будет состоять не менее чем из k+1 k-угольных чисел. Из (1) и (2) следует:

N− m_>i = S_>i (3)

Таким образом, если отнимать от нашего предполагаемого числа N любое меньшее его многоугольное число m_>i, то согласно нашему предположению, в результате должно получаться только S-число. Конечно, это условие выглядит просто невероятным и создаётся впечатление, что мы уже у цели, но как же тогда доказать, что это невозможно? …

Ой… что же мы натворили-то? А если обнаружится, что и Коши́ следовал этим же путём? Тогда получится, что мы и у него подсмотрели, а выдаём как за своё. Нет, так дело не пойдёт. Нам и самим интересно, применил ли он метод спуска или нашёл для доказательства свой собственный метод, который также может представлять собой особую ценность? Мы, пожалуй, на этом остановимся и подождём, пока доказательство ЗТФ Коши́ 1815 года не будет вновь опубликовано. Если же окажется так, что оно отличается от того, что у Ферма, то мы можем тогда ещё раз к этому вопросу вернуться.