Читать онлайн Игорь Мерзляков - Квантовая химия в примерах

© Игорь А. Мерзляков, 2022

ISBN 978-5-4498-2768-5

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Теоретические принципы, положенные в основу данной работы, опираются на аналитическое решение уравнения Шрёдингера, которое было детально исследовано в первой книге серии «Путешествие в квантовую механику». Изучая положения по квантовой химии, читатель сможет разобраться в методике, позволяющей осуществить моделирование кристаллических структур, молекул и химических реакций.

Каждый принцип, связанный с предсказанием химических соединений, в этой работе выделен отдельно, поэтому хотелось бы надеяться на то, что данное обстоятельство поможет читателю быстрее освоить предлагаемый к изучению материал.

Со времён, когда жил и работал М. В. Ломоносов, кристаллография получила своё развитие благодаря учёным, формировавшим знания о ней как об отдельной науке. На сегодняшний день исследователи продолжают изучать симметрии в структурах химических веществ, пытаясь решить в общем виде задачу «компактной упаковки шаров», согласно которой шары (аналогично атомам в кристалле) помещаются в ящик, оставляя наименьшее свободное пространство. Цель подобных исследований состоит в том, чтобы выделить основные типы кристаллических структур. Часто для неоднородных структур остаётся открытым вопрос о диаметрах шаров и размерах упаковки, куда они помещаются, поскольку именно диаметр определяет вид атома, а линейные размеры упаковки дают информацию о будущих свойствах кристаллической решётки. Предлагаемая в книге методика является наиболее универсальной с вычислительной точки зрения по сравнению с другими численными алгоритмами поиска структур, вместе с тем результаты моделирования указывают на идентичность построенных теоретически и полученных на практике химических соединений.

В данной книге мы разберём основные методы, с помощью которых можно прогнозировать строение кристаллических структур и молекул, применяя аналитическое решение уравнения Шрёдингера, а также рассмотрим процессы возникновения и протекания химических реакций. Если химическую структуру возможно построить теоретически, тогда следует констатировать, что соответствующие ей кристалл или молекула будут существовать в природе. Смоделировав то или иное химическое соединение, необходимо определить параметры среды, в которых будет существовать исследуемое вещество на практике. В случае, когда нельзя обосновать теоретически структуру химического соединения, тогда вещество не может быть получено на практике даже в самых критических точках-параметрах среды, в которой оно находится.

Контакты для связи: vk.com/garrydipray, iganmer@gmail.com, iganmer@yandex.ru.

Ссылка на программу «Cepreak»: www.vk.com/cepreak

Из книги «Путешествие в квантовую механику» [1] известны следующие положения:

а) Полную энергию E электрона, определяемую для заданных квантовых чисел n_>x, n_>y, n_>z в трёхмерной декартовой системе координат, можно выразить в виде тождества:

где x,y,z – координаты точек, куда помещается пробный отрицательный заряд (см. раздел 5 [1]), x∈ (-R_>x, R_>x), y∈ (-R_>y, R_>y), z∈ (-R_>z, R_>z), F (x,y,z) – произвольно заданная функция, U (x,y,z) – потенциальная энергия, R_>x, R_>y, R_>z – коэффициенты, определяемые из граничных условий. Величины m_>x/R_>x, m_>y/R_>y, m_>z /R_>z в общем случае будут зависеть от функции распределения внутренней энергии u, расположенной в пространстве потенциальных ям (см. раздел 9 «Принцип суперпозиции. Квантовая запутанность. Квантовый компьютер» [1]). Если квантовая система состоит из одной частицы, тогда коэффициент a можно определить из соотношения a=ħ^>2/ (2M), здесь ħ – приведённая постоянная Планка, M – масса электрона, n_>x, n_>y, n_>z – величины, определяющие дискретные значения полной энергии.

б) Получим выражение для вычисления полной энергии квантовой системы, расположенной в произвольно заданном пространстве потенциальных ям. В рассматриваемом примере потребуем, чтобы синусоидальная функция, входящая в состав решения уравнения Шрёдингера, была построена в сферической системе координат (r,θ,φ), тогда:

в) Распределение потенциальных ям в пространстве R^>3 будет зависеть от значений синусоидальной функции A=sin (πm_>xx/R_>x) sin (πm_>yy/R_>y) sin (πm_>zz/R_>z). В точках, где величина A принимает отрицательные значения A <0, возможно обнаружить электроны, а в точках, где A> 0 – позитроны или ядра атомов.

г) Атомы, существующие в пространстве потенциальных ям, могут иметь любую форму, но для простоты их изображения выберем модель куба. Ядро находится в центре атома. Рассмотрим потенциальные ямы, расположенные на оболочке куба, в которых можно зафиксировать отрицательно заряженные частицы. Количество исследуемых потенциальных ям, определяемое для одного атома вещества, возможно вычислить из выражений (2.1) или (2.2). В процессе заполнения 4s^>2 орбитали частицы переходят на h+1 уровень. Вместе с тем электроны, расположенные на 4s^>2 подуровне, могут спускаться на более низкий уровень (h=3) при условии, что там существуют незаполненные потенциальные ямы.

д) В процессе преобразования величины внутренней энергии коэффициенты m_>x/R_>x, m_>y/R_>y, m_>z /R_>z будут изменяться, что приведёт к трансформации пространства синусоидальной функции A, входящей в решение уравнения Шрёдингера.

е) В разделе 8 [1] были рассмотрены общие положения о строении атома. Ниже приводится справочная информация из книги «Путешествие в квантовую механику» [1].

В первую очередь введём обозначения:

2h-1 – число потенциальных ям, приходящихся на одну сторону куба (атома).

D` – количество потенциальных ям с электронами, которые располагаются на внешней оболочке атома (куба). Размер последней определяется в зависимости от значения квантового уровня h.

Следует отметить, что понятие квантового уровня не соответствует определению энергетического (химического) уровня (схожи лишь их численные значения), поскольку закон заполнения квантовых уровней, в зависимости от их порядковых номеров, учитывает перемещение электронов на более низких или высоких энергетических уровнях. Квантовым уровнем называется каждая новая оболочка атома, построенная как следующий слой из потенциальных ям вокруг куба предыдущего уровня за исключением 1-го, толщиной в один полупериод синусоидальной функции.

Если h=1, тогда D`=2.

Если h> 1 и h – чётное, то D`=12h^>2—24h+14.

Если h> 1 и h – нечётное, тогда D`=12h^>2—24h+12.

Заполним таблицу 2.1 полученными данными.

Таблица 2.1 Сводная таблица, подтверждающая справедливость периодического закона Менделеева, который можно применить к исследуемой модели атома.

Основными характеристиками, с помощью которых можно восстановить таблицу Д. И. Менделеева, являются соотношения между столбцами 3, 4 и 5 таблицы 2.1. Покажем, что данные соотношения сохраняются для каждого нового квантового уровня, задаваясь величинами из таблицы 2.1 в скобках (строка, столбец), тогда для чётных h> 3 получим:

Для нечётных h> 4 и всех остальных h <4 справедливым будет следующее тождество:

Итак, используя полученные в данном параграфе выражения, можно определить количество свободных потенциальных ям, которые располагаются на оболочках атомов, входящих в состав моделируемого химического соединения.

Рассматривая процессы, происходящие на уровне мельчайших взаимодействий, необходимо учитывать тот факт, что природа электрона носит корпускулярно-волновой характер. Если электрон проявляет волновую природу, тогда его физическая сущность будет соответствовать правилам математического описания волн. В том случае, когда электрон принимает корпускулярную форму, тогда появляется необходимость зафиксировать исследуемый фермион в той или иной точке пространства для измерения его координат или импульса. Если наблюдение за электроном не производится, тогда он может перемещаться относительно заданного базиса. Естественно, что говорить о движении электронов во время измерения (наблюдения за ними) в рамках данного подхода к задачам квантовой химии бессмысленно. Указанные свойства двойственной природы электронов необходимо взять на вооружение для последующего построения теории взаимодействия частиц, объединённых в химическую структуру.

Для получения химического соединения на практике необходимо, чтобы минимум 2 атома объединились в общую структуру. Таким образом, электроны, входящие в состав одного из атомов, будут совмещаться с потенциальными ямами, где нет электронов, другого химического элемента. Примером может послужить соединение, полученное из 2-х атомов, чей квантовый уровень равен h=2. В периодической таблице Менделеева наименования рассматриваемых атомов расположены во 2-м периоде, куда входят химические элементы, начиная от лития Li^>3 и заканчивая неоном Ne^>10, где индексы 3 и 10 указывают на заряды соответствующих ядер. Потенциальные ямы обозначаются крестиками, если в них располагаются электроны (по одной частице на одну или несколько потенциальных ям). Пустые потенциальные ямы, где могут находиться электроны, но, вследствие недостаточной величины заряда атомного ядра, указанное расположение не последовало, обозначим треугольниками. Области синусоидальной функции, куда могут попасть положительно заряженные частицы, остаются незаполненными электронами (в них возможно зафиксировать позитроны). В центральную потенциальную яму атома (куба) помещается положительно заряженное ядро. Звездой обозначается потенциальная яма, полученная в результате совмещения крестика и треугольника. Подобное совмещение обеспечивает стабильность кристаллической структуры или молекулы при воздействии на квантовую систему извне. Большинство химических соединений, имеющих под собой теоретическое обоснование, возможно получить на практике при условии, что между атомами, входящими в состав той или иной кристаллической структуры или молекулы, будут присутствовать химические связи. На рисунке 3.1 продемонстрированы 2 соединённых между собой атома, расположенных отдельно друг от друга на изображении слева и совмещённых в общую структуру – справа.

Рисунок 3.1 Соединение 2-х атомов в их вершинах.

Следующее возможное соединение, полученное из частиц, которые изображаются на рисунке 3.2, располагается вдоль их сторон. Треугольники, входящие в состав первого атома, находятся на одной прямой, вследствие чего в них легко попадают крестики (потенциальные ямы с электронами) другого химического элемента. В результате образуется гораздо более прочное соединение по сравнению с взаимодействием, показанным на рисунке 3.1.

Рисунок 3.2 Соединение атомов вдоль одной плоскости (грани куба) в двух точках.

Наиболее сильное соединение возникает при совмещении атомов вдоль их граней. На рисунке 3.3 продемонстрирован пример такого соединения, где потенциальные ямы с крестиками объединяются с потенциальными ямами, помеченными треугольниками. Заметим, что на рисунке слева, расположенном на изображении 3.3, в центре граней атомов находятся треугольники. Соединение 2-х химических элементов возможно получить только в том случае, когда пустые потенциальные ямы будут заполняться электронами. Таким образом, в рассматриваемом примере следует говорить о существовании дырочной проводимости в веществе.