Например, если даны три прямые A, B, Γ, и если сказано: «поскольку A и B равны Γ, то они равны и между собой, ибо равные одному и тому же равны и между собой», – то очевидно, что меньшая посылка («A и B равны Γ») содержится в большей («равные одному и тому же равны между собой»).
Также в силлогизме:
– «Человек – животное,
– Животное – сущность,
– Следовательно, человек – сущность»
меньшая посылка («человек – животное») очевидно содержится в большей («животное – сущность»).
Таким образом, есть три вещи, которые должны быть заранее известны в любом доказательстве:
1. Данное,
2. Искомое,
3. Аксиома.
Например, в первой теореме Евклида, где требуется построить равносторонний треугольник на данной конечной прямой:
– Данное: конечная прямая,
– Искомое: равносторонний треугольник,
– Аксиомы:
– В предварительных рассуждениях: «прямые, проведенные из центра к окружности, равны между собой» и «равные одному и тому же равны между собой»,
– В заключении: «равносторонний треугольник – это тот, который ограничен тремя равными прямыми».
Заметим, что геометр заранее знает все упомянутое: что такое прямая, что такое конечная, что такое равносторонний треугольник, а также остальные аксиомы. Некоторые вещи он просто принимает, например, что такое основание, что такое наложение, что такое равенство, поскольку они общеизвестны.
То же самое можно найти и в других науках и искусствах. Например, в медицине:
– Данное: человек имеет лихорадку,
– Искомое: причина лихорадки или предварительная причина начала болезни,
– Аксиома: «противоположное излечивается противоположным».
Однако если науки заранее имеют общие аксиомы или определения, через которые строятся доказательства, то в искусствах (например, физиологии или медицине) это невозможно, поскольку они неопределенны.
Важно также знать, что иногда данное становится искомым, а искомое – данным. Например:
– В первой теореме дана прямая – она же становится искомым в десятой теореме, где говорится: «если при пересечении двух прямых третьей внутренние односторонние углы в сумме дают два прямых, то эти прямые параллельны».
– Если я докажу, что прямые лежат на одной линии, то тем самым докажу, что это одна прямая (поскольку прямая – это линия, равномерно лежащая на своих точках).
И наоборот:
– Если я скажу: «у всякого треугольника две стороны больше третьей», то я беру треугольник как данное.
– Но если я возьму квадрат ABCD, проведу диагональ BΓ, разделю ее пополам в точке E и проведу из углов CAB и BΔΓ к точке E прямые AE и EΔ, то вопрос будет: «является ли AΓΔ треугольником?» – и это станет искомым.
Однако есть данные, которые никогда не становятся искомыми. Например:
– Если я скажу: «переместить данную величину», то сама величина никогда не будет искомой.
– Если я скажу «сфера», то никогда не сделаю ее искомой – она всегда дана.
– Круг в планиметрии всегда дан, но в стереометрии он может быть искомым, как в теореме: «если сфера пересечена плоскостью, сечение есть круг».
Никто не спрашивает: «есть ли это сфера?», «есть ли это круг?», «есть ли это величина?» – ведь они воспринимаются чувствами.
Способы предварительного познания.
Способы, через которые что-то познается заранее, два:
1. Что это или что означает,
2. Что оно есть.
В случае данного нужно заранее знать и что оно есть, и что означает (или что это).
В случае искомого – не что оно есть, а только что означает (или что это), ибо если бы мы знали, что оно есть, оно не было бы искомым.
