Удивительно и то, что хотя внешний угол можно бесконечно увеличивать, а внутренний – уменьшать (и наоборот), тем не менее:
– внешний угол, сколько бы его ни увеличивали, никогда не станет равен острому прямолинейному углу, но всегда будет меньше любого;
– внутренний угол, сколько бы его ни увеличивали, никогда не станет равен прямому.
Мы увеличиваем внешний угол, описывая меньшие круги. Например, если разделим диаметр ΓΒ в точке Ε, затем прямую ΓΕ пополам в точке Ζ и проведем полукруг ΓΗΕ с центром в Ζ и радиусом ΖΓ, то внешний угол ΑΓΗ увеличится, но все равно останется меньше любого острого – это доказывается в геометрии для любого круга.
Аналогично, если мы будем делить диаметр внутреннего круга, вписывать меньшие круги и повторять это бесконечно, то будем увеличивать внешний угол и уменьшать внутренний, но:
– внешний никогда не станет равен острому прямолинейному;
– внутренний никогда не станет равен прямому.
И наоборот: увеличивая внутренний угол и уменьшая внешний, описывая большие круги (например, продолжив диаметр ΓΒ до Ε, проведя полукруг ΓΖΕ с центром в Β и радиусом ΒΓ), мы увидим, что внешний угол уменьшается, а внутренний растет, но опять же без достижения равенства.
Таким образом, если доказано, что для одного и того же могут существовать большая и меньшая величины, но не равная (из-за разнородности), то Брисон ошибочно полагал, что если описанный многоугольник больше круга, а вписанный – меньше, то существует и равный промежуточный прямолинейный [многоугольник]. Ведь здесь тоже величины разнородны (прямолинейное и круг), а значит, они не могут быть равны.
p. 75b41 Ибо такие рассуждения доказывают нечто общее, что может принадлежать и другому.
То, для чего существует большее и меньшее, может иметь и равное. Из таких [предпосылок] Брассон пытался доказать квадратуру круга, но это не является специфическим [методом] геометрии, а общим для многих [наук], и более свойственно диалектике, чем геометрии, пользоваться подобными [аргументами], поскольку они доказывают искомое не из начал геометрии.
p. 76a1 Следовательно, [это знание] принадлежит [науке] не как таковой, а по совпадению, ибо доказательство могло бы подойти и к другому роду [вещей].
«Ибо он, – говорит [Аристотель], – доказывал квадратуру не из собственных начал, а из некоторых более общих; значит, он доказывал не через то, что принадлежит самому [предмету], а через случайные свойства».
Что же значит доказывать через то, что принадлежит самому, а не по совпадению? Далее он добавляет: когда мы познаем нечто из собственных ему начал, а не из более общих, которые могут принадлежать и другим [вещам]. Поэтому ранее он говорил, что нет науки о преходящем и доказательства, разве только как о случайном, называя «случайным» доказательство, построенное на общих [принципах].
p. 76a6 Например, [свойство] иметь [углы], равные двум прямым, принадлежит упомянутому [треугольнику] самому по себе, и доказывается это из его начал.
Ибо треугольнику самому по себе принадлежит [свойство] иметь [углы], равные двум прямым; и доказывают это не из каких-то общих [принципов], а из собственных начал подлежащего предмета познания.
Итак, [геометры] доказывают, что три угла треугольника равны двум прямым, продлив одну из сторон и показав, что две [угла] – внутренний и прилежащий к нему внешний – равны трем внутренним. Таким образом, получается следующий силлогизм:
