0 1 2 3 4 5 6
A 2А 4А 8А
б. Задайте новую модель, которая описывает с интервалом в 1 год, обозначив размер популяции за , в которой приращение на 1 представляло бы 0.1 года (то есть ). Предлагается начать решение с создания таблицы, аналогичной таблице из части (a).
в. Предложите модель, которая согласуется с на интервале в 1 год, но описывает численность популяции , где приращение t на 1 представляет собой h лет (таким образом, ). Очевидно, что может быть больше или меньше 1; та же формула опишет любую ситуацию.
г. Обобщите части (а–в). Объясните, почему, если исходная модель использует приращение времени 1 год и задается уравнением , то модель, описывающая те же популяции с интервалом в 1 год, но использующая приращение времени лет, будет задана уравнением .
д. Если теперь изменить обозначение временного интервала с на , то пункт (г) показывает, что . Если считать бесконечно малым, то получим . Проиллюстрировать тот факт, что можно выбрав несколько значений при малом и сравнив значения с . Этот результат легко доказать формально:
.
д. Докажите, что решением уравнения
при начальном условии является .Как это согласуется с формулой для выражения
через и в модели разностного уравнения ? Специалисты часто называют в каждой из выведенных выше формул «конечной скоростью роста», в то время как называется «собственной скоростью роста».Мальтузианская модель предсказывает, что рост числа обучаемых математиков будет экспоненциальным. Однако такое предсказание не может быть оставаться точным продолжительное время. Ведь экспоненциальные функции растут быстро и без ограничений; и, согласно такой модели, рано или поздно математиков окажется больше, чем количество атомов во Вселенной. Модель, разработанная в данном разделе, должна дополнительно учитывать какой-то важный фактор. Чтобы быть более реалистичными в моделировании, нужно пересмотреть предположения, которые вошли в модель.
Главный недостаток заключается в предположении о том, что параметры (доля выпускающихся молодых специалистов) и (доля уходящих на заслуженных отдых пенсионеров) для моделируемой численности одинаковы независимо от текущего значения (количество профессиональных математиков работоспособного возраста). На самом деле, когда число становится большим, из-за перенасыщения рынка интеллектуального труда разумно ожидать более высокий уровень и низкий . Комбинируя эти факторы, можно сказать, что по мере увеличения численности конечные темпы её роста должны уменьшаться. Поэтому нужно как-то модифицировать модель так, чтобы темпы роста зависели от текущей численности; то есть скорость роста должна зависеть от так называемой «плотности».
Вопросы для самопроверки:
– Какие факторы могут стать причиной изменения плотности? Почему большое значение численности
может иметь высокий уровень
и/или низкий
?
Для создания нелинейной модели, чтобы спроектировать более адекватную модель, проще всего сфокусироваться на относительной величине
, показывающей долю изменения численности на общее число, то есть на темпе роста популяции за один шаг времени. Как только поймем от чего зависят темпы роста общей численности на одного человека и найдем формулу для их описания, сможем получить из этого итоговую формулу для
