Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II - страница 6

Вторым рассмотрим алгоритм Фитча-Марголиаша. Этот метод немного сложнее, чем UPGMA, но основан на том же подходе. Тем не менее, попытаемся отказаться от предположения UPGMA о молекулярных часах.

Прежде чем изложить алгоритм, сделаем несколько математических наблюдений. Во-первых, если попытаемся поместить 3 таксона на некорневое дерево, то будет только одна топология, которую необходимо учитывать. Кроме того, для 3 таксонов можем назначить желаемые длины ребер, чтобы точно соответствовать данным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим дерево на рисунке 5.9. Если есть некоторые данные о расстоянии

Эти уравнения могут быть решены либо путем записи системы в виде матричного уравнения и нахождения обратной матрицы, либо путем подстановки формулы для одной переменной, полученной из одного уравнения, в другие. Любой способ гарантированно приведёт к следующему решению

Рисунок 5.9. Некорневое 3-таксонное дерево.

Будем называть эти формулы 3-точечными формулами для подгонки таксонов к дереву. К сожалению, с более чем 3 таксонами точная подгонка данных к дереву обычно невозможна. Однако алгоритм Фитча-Марголиаша (кратко называемый в таблицах как FM) использует случай 3 таксонов для обработки большего количества таксонов. Теперь объясним работу алгоритма на примере. Будем использовать данные о расстоянии, приведенные в таблице 5.4.

Таблица 5.4.  Расстояния между таксонами

           .31         1.01       .75         1.03

                         1.00       .69         .90

                                        .61         .42

                                                       .37

Начинаем с выбора ближайшей пары таксонов для присоединения, как это делали в UPGMA. Глядя на таблицу расстояний,  и  являются первой парой, которая соединится. Чтобы соединить их, не помещая их на равное расстояние от общего предка, временно сводим задачу к случаю 3-таксонов, объединяя все остальные таксоны в группу. Таким образом, для имеющихся данных вводим группу . Находим расстояние от каждого из  и  до группы, усредняя их расстояния до каждого члена группы. Таким образом, расстояние от  до  равно

Таблица 5.5.  Расстояния между группами; FM-алгоритм, шаг 1a

           .31         .93

                         .863

Имея только три таксона в этой таблице, можем точно подогнать данные к дереву, используя 3-точечные формулы, чтобы получить рисунок 5.10. Ключевым моментом здесь является то, что 3-точечные формулы, в отличие от UPGMA, могут давать неравные расстояния таксонов от общего предка.

Рисунок 5.10. FM-алгоритм; шаг 1.

Теперь оставляем только ребра, заканчивающиеся в  и  на рисунке 5.10, и возвращаемся к исходным данным. Помните, что группа

Таблица 5.6.  Расстояния между группами; FM-алгоритм, шаг 1b

   1.005     .72         .965

                         .61         .42

                                        .37

Снова ищем ближайшую пару (теперь это  и ) и соединяем их аналогичным образом. Объединяем все, кроме