Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы - страница 6

4. Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину) прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1 см, затем возвращает в прежнее положение, опять опускает на 1 см и опять возвращает в прежнее положение; 3 раза он так опускает и 3 раза поднимает синий карандаш (6 движений). Допустим, что за это время краска не высыхает и не истощается. На сколько сантиметров в длину окажется запачканным желтый карандаш после шестого движения?

5. Решите задачу из немецкого рукописного трактата из мюнхенского собрания (XV век).

«Некто имеет работников и деньги. Если он даст каждому работнику 5 монет, у него остается 30, а если 7 монет, то не хватит 30. Спрашивается, сколько у него работников?»

6. Решите уравнение

1. Найдите значение выражения (a · a · a – b · b · b): (а · а + a · b + b · b), если а = 17, Ь = 14.

2. Решите уравнение 72: (38 · 26: (17–92: х)) = 2.

3. Расставьте вместо букв цифры так, чтобы получилось верное равенство (разным буквам соответствуют разные цифры): У – Р = А: В = Н · Е = Н + И = Е.

4. Из села по дороге в полдень вышла Таня со скоростью 6 км/ч. В 13 ч 00 мин вслед за ней вышел Игорь со скоростью 8 км/ч. А в 14 ч 00 мин из того же села вдогонку на велосипеде выехала Света. С какой скоростью должна ехать Света, чтобы догнать Игоря в тот момент, когда Игорь догонит Таню?

5. В команде 7 мальчиков и 6 девочек. Вначале все мальчики обменялись рукопожатиями друг с другом. Затем каждый мальчик обменялся рукопожатием с каждой девочкой. А вот девочки друг другу руки решили не жать. Сколько всего было рукопожатий?

6. Дан квадрат АВСЕ со стороной 4 см. Точка К – середина стороны АВ, точка М – середина стороны ВС. Найдите площадь треугольника МКЕ.

1. На могиле Диофанта (древнегреческий математик) имеется надпись: «Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался». Сколько лет жил Диофант?

2. Найдите х, если 54 км/ч = х м/с.

3. Алеша дал Боре столько яблок, сколько у Бори было. Потом Боря дал Алеше столько яблок, сколько у того стало. После этого у мальчиков оказалось по 4 яблока. Сколько яблок было у каждого первоначально?

4. Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин поспорили: кто больше выпьет молока. После того, как молоко было выпито, каждый из них высказался:

Дядя Федор: «А все-таки я не оказался последним!» Кот Матроскин: «Я выпил не больше, но и не меньше всех». Шарик: «Я маленький, поэтому выпил меньше всех». Почтальон Печкин: «Я вас всех победил!» Один из них сказал неправду. Кто победил в соревновании, и кто сказал неправду?

5. Вычислите 7288: 8 + 6363: 7 – 2000 + 1000: 250 + 276.

6. Частное равно 100. Делимое уменьшили на делитель. Узнайте новое частное.

1. Найдите наибольшее целое число, дающее при делении на 13 неполное частное 17.

2. Сколько существует натуральных двузначных чисел, у которых первая цифра в два раза больше второй?

3. Найдите закономерность в последовательности чисел и определите, сколько в этой последовательности трехзначных чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…