Метафизика опыта. Книга II. Позитивная наука - страница 26

a + x = b, где x обозначает разницу, какой бы она ни была, между b и a; это уравнение можно также выразить как x = b – a, или снова как a – b + x = 0.

Алгебра, таким образом, может быть названа, по аналогии, логикой чистого числа или количества, причем знак = принимается в качестве копулы всех ее суждений или выкладок.

Переходя от уравнений как общих формул к их интерпретации в конкретных случаях, я взял следующее из примеров «замены цифр буквами», приведенных в статье «Алгебра» в Британской энциклопедии; отчасти потому, что оно показывает, как в алгебре используются символы, обозначающие ничто, 0, называемый нулем, и бесконечность, co, :

«Если a = ½, b = ⅓, c = ¼, x = 0, то найдите значение

a^>2 – b^>2/x – b^>2 – c^>2/x^>2

Первый член бесконечен, а второй бесконечно больше первого, так как x^>2 = x * x. Ответ: -∞».14

Нуль, или 0, и бесконечность, или ∞, используются здесь точно так же, как если бы они были реальными величинами. Логическое обоснование этого, как я полагаю, двояко: (1) в вычислениях мы всегда, по предположению, имеем дело с количеством или числом, и никогда – с чем-то, что не является количеством или не числом, и (2) место, в котором или точка, в которой появляется количество или число, в вычислительных операциях всегда определяет его значение. Теперь ноль, или 0, – это место или точка посередине между положительными, или +, и отрицательными, или -, величинами. Как алгебраическая величина он больше любого минуса или отрицательного значения. Аналогично с бесконечными величинами, или ∞. Одна из них может быть больше или меньше другой, в зависимости от места, которое они соответственно занимают в вычислениях, с помощью которых к ним приходят. Обоснованность этого утверждения основывается на двойном характере, отмеченном выше, как присущем всем числам, (1) как акту счета, (2) как единице или группе единиц, которые подсчитываются. Ноль, как подсчитанное количество, означает отсутствие числового содержания в определенном месте, полученном при вычислении, то есть в серии актов счета, как, например, при вычитании (скажем) 9 из 9; бесконечность, как подсчитанное количество, положительное или отрицательное, означает наличие числового содержания, превышающего любое поддающееся определению содержание, в определенном месте, полученном аналогичным образом, как, например, при умножении 0 на 0 (x на x) в приведенном выше примере.

Поэтому нуль в числе и нуль количества в континуумах, одинаково обозначаемые 0, следует тщательно отличать от логического отрицания или противоречия числа или количества, как способов восприятия вообще. Реальное существование чисел или величин в смысле мест или точек в серии актов счета и, следовательно, их возможное существование в виде содержания, находящегося в этих местах или на них, обеспечивается самим актом счета или вычисления, поскольку он неотделим от него. Точно так же алгебраическую концепцию бесконечности, или оо, как способной к степеням сверх степеней, к которой приходят путем вычисления, следует тщательно отличать от той бесконечности, которая относится к определенным способам количества (хотя и не к числу) как способам восприятия вообще; я имею в виду время и пространство, поскольку они являются сущностями восприятия.

Способны ли такие алгебраические значения бесконечности быть интерпретированы как применимые к реальному миру – это другой вопрос. То обобщение арифметических процессов, которое мы называем алгеброй, несет в себе, просто как обобщение, обязанность увидеть, применимы ли и каким образом его результаты к перцептивным явлениям. Сами по себе они не являются гарантией перцептивной реальности, в той же мере, что и представления о гиппогрифах или химерах в обычном логическом мышлении. И это верно даже тогда, когда явления, которые они интерпретируют, имеют такой абстрактный вид, как деления чистого времени и длительности или геометрические конфигурации чистого или пустого пространства. Их следует рассматривать как объекты-вещи, в которых понятия чисто алгебраического исчисления могут находить или не находить образцы. В этом отношении обобщенные понятия и процессы алгебры отличаются от понятий и процессов арифметики, развитием которой они являются. Ибо, снова цитируя статью об алгебре в Британской энциклопедии, «все операции арифметики могут быть непосредственно интерпретированы сами по себе, в то время как операции алгебры во многих случаях могут быть интерпретированы только путем сравнения с предположениями, на которых они основаны». (Vol. I., p. 511.) " Теория уравнений», – читаем мы в той же статье, – «может быть названа собственно алгеброй» (стр. 515). Но поскольку работа с неизвестными и переменными величинами и отношениями величин (выраженными с помощью символов) является общей и существенной чертой в методах всех высших отраслей вычислений, все они в совершенно определенном смысле могут быть названы высшими отраслями алгебры и включены в нее. Я беру общие главы, под которые попадают эти ветви, из статьи об анализе в Chambers’ Encyclo- ptedia: «Математический анализ, в современном понимании этого термина, – это метод рассмотрения всех величин как неизвестных чисел и представления их для этой цели символами, например буквами, причем отношения, существующие между ними, могут быть таким образом установлены и подвергнуты дальнейшему исследованию. Таким образом, это то же самое, что и алгебра в самом широком смысле этого слова, хотя термин «алгебра» более строго ограничен тем, что относится к уравнениям, и, таким образом, обозначает только первую часть анализа. Вторая часть анализа, или анализ, называемый более строго, делится на анализ конечных величин и анализ бесконечных величин. К первому, называемому также теорией функций, относятся такие предметы, как ряды, логарифмы, кривые и т. д. Анализ бесконечных величин включает в себя дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и вариационное исчисление».