Метафизика опыта. Книга II. Позитивная наука - страница 28

Пределы, установленные бесконечно малым исчислением (в его дифференциальной ветви) при работе с переменными функциями для целей своих вычислений, являются делениями такого рода. Недавний авторитет дал им следующее определение. «Если существует фиксированная величина, которой переменная величина может быть почти равна, и если невозможно, чтобы переменная величина когда-либо была точно равна этой фиксированной величине, то фиксированная величина называется пределом переменной величины».16

Возьмем элементарный и знакомый пример. Представьте себе круг с горизонтально проведенным диаметром, пересекающийся с окружностью справа в точке, которую мы назовем О. Затем проведите через точку 0 другую прямую линию, отсекающую часть или дугу правого верхнего квадранта круга, и назовите точку, в которой она снова пересекается с окружностью, В. Далее представьте, что эта линия 0 B вращается вокруг точки 0 как шарнира в плоскости круга слева направо, постепенно приближая точку B к точке 0; тем самым постепенно уменьшая (1) дугу перехваченной окружности, (2) длину прямой или хорды 0 B и (3) площадь, заключенную между дугой и хордой, пока эти три величины одновременно не исчезнут; что и произойдет в тот момент, когда точка B достигнет точного совпадения с точкой 0.

До этого момента линия O B является секущей окружности; в этот момент она перестает быть секущей и становится касательной к окружности; а если мы предположим, что она продолжает вращаться слева направо вокруг точки 0, то она перестает быть касательной и снова становится секущей окружности, только на этот раз часть окружности или дуги, которую она пересекает, лежит ниже диаметра и принадлежит нижнему правому квадранту окружности.

Положение прямой 0 B в тот момент, когда она становится касательной к окружности, и до тех пор, пока она ею остается, является пределом последовательного изменения положения, которое она занимала, будучи секущей окружности. И хотя в качестве секущей ее можно сколь угодно приблизить к ее положению касательной; то есть хотя ее расстояние от положения касательной может быть уменьшено последовательными дифференцированиями, пока мы не устанем находить выражения для ее миниатюрности, – все же она никогда не может совпасть с этим положением касательной, не переставая быть секущей; или, выражаясь другими словами, угол, который она как секущая образует с диаметром в точке 0, никогда не может быть точно равен углу, образуемому касательной в этой точке (что является прямым углом), без того, чтобы линия в то же время не перестала пересекать какую-либо часть дуги или окружности, какой бы незначительной эта часть ни была.

Единственная и достаточная конечная причина этого заключается в том, что последовательные положения, которые, как мы полагаем, занимает вращающаяся линия 0 B, являются идеальными делениями пространственных континуумов, а именно: области, заключенной в круге, и области или пространства вне круга, непрерывного с пространством внутри него, за исключением идеального деления, вносимого самим кругом. Ибо идеальные деления континуума не являются решениями его непрерывности, то есть не вносят в него разрывов или интервалов, которые не принадлежат

континууму, как это сделали бы физические деления материального континуума. Отсюда следует, что, пересекая континуум или предполагая движение точки, пересекающей его (будь то континуум времени, или длины, или ширины, или объема пространства), это движение также непрерывно в отношении пересекаемого континуума; то есть оно не может пропустить или оставить не пройденной ни одну часть, сколь бы малой она ни была или могла бы быть идеально разделена, то есть независимо от того, были ли эти идеальные деления явно отмечены или нет. Что касается непрерывности движения по континууму, то нет разницы, сколько или сколько идеальных делений в него внесено, поскольку никакое количество таких делений не может исчерпать его делимость, но всегда должен оставаться континуум, способный к дальнейшему идеальному делению. Короче говоря, непрерывное движение может пересечь весь континуум и в этом смысле исчерпать его, а идеальное деление – нет. Я не ставлю перед собой задачу рассматривать способы, с помощью которых фундаментальная концепция пределов становится основой методов, сначала дифференциального исчисления, а затем интегрального, которое является его противоположностью, дополнением и применением. Здесь нас интересует природа и обоснованность самого Lex Continui, из которого концепция пределов является прямым и непосредственным следствием. В связи с этим необходимо прежде всего отметить, что представление континуума, будь то время, пространство или движение, является представлением фактов чувственного восприятия, взятых в их низших и простейших проявлениях, и поэтому имеет прямую гарантию опыта. Возражения против его конечной эмпирической достоверности должны, с другой стороны, выводиться не непосредственно из данных чувственного восприятия, а из представлений, которые мыслимые рамки времени, пространства и движения, рассматриваемых по отдельности как абстрактные объекты, то есть из понятий о них, или из времени, пространства и движения как понятий. Ибо только в этом случае можно даже поставить вопрос о том, не может ли время в действительности быть последовательностью дискретных мгновений, пространство – сосуществованием дискретных точек, а движение – последовательностью скачков из одной сосуществующей точки пространства в другую, причем каждый скачок совершается в дискретное мгновение времени. Ни к чему, кроме путаницы, не приводило и не может привести такое выдвижение понятий на место восприятий в качестве конечного источника и проверки достоверности. Примером тому служат элеатские загадки о движении.