Бросив ретроспективный взгляд на сказанное, мы видим, что наука чистого вычисления имеет своим первым или непосредственным объектом материю, чистые или абстрактные Числа и их отношения между собой, рассматриваемые так, как если бы они были реальностью, обладающей свойствами, вступающей в отношения и подчиняющейся собственным законам; несмотря на то, что они являются созданиями актов счета, которые являются первыми шагами в науке вычисления, и что их свойства, отношения и законы могут быть открыты только путем продолжения и развития тех самых актов счета и вычисления, посредством которых они первоначально были образованы из восприятия мыслью. Числа, рассматриваемые таким образом, а именно как отделимые от действий, которые их производят, являются первым или непосредственным объектом науки чистого вычисления.
С другой стороны, как существа мысли, в счете и вычислении, – что является для них характером в равной степени существенным, – все числа идеальны и реальны; то есть, говоря метафизическим языком, они являются объективными мыслями, даже когда они берутся как сами объекты, мыслимые в рефлектирующем сознании. Но хотя все числа и реальны, и идеальны в этом смысле, они, тем не менее, подвержены несколько схожему различию, которое ни в коем случае нельзя путать с этим, я имею в виду различие между реальными, или рациональными, и воображаемыми, или иррациональными, в зависимости от того, являются они или не являются строго соизмеримыми с единством, и поэтому могут или не могут быть точно выражены конечным числом фигур. Такие иррациональные числа также называются сурдами, например, квадратный корень из 2, или √2. В этом классе мнимых или иррациональных чисел можно выделить и те, которые просто невозможны и нереальны из-за противоречия, заложенного в обычных терминах, используемых для их описания, как, например, в идее четного корня из отрицательной величины, √– 1.
Таким образом, во всем своем диапазоне мы видим, что чистое вычисление обеспечивает свой собственный непосредственный объект-вещество и не зависит ни от какого другого объекта-вещества. Нельзя сказать, что оно в большей степени применяется к своему собственному объекту, чем производит его. Он исследует, производя, и производит, исследуя. Его законы и законы его объекта-вещества, говоря в целом, одинаковы. Но кроме того, она применима к посторонней для себя объектной материи, возникающей из совершенно независимого источника в чувственном восприятии; поэтому она применима к ней в строгом смысле этого слова, которое подразумевает неоднородность. И к ней она применима, поскольку вовлечена в методы, то есть в науки, с помощью которых исследуются законы этой посторонней объектной материи. Эта вторичная материя чистого исчисления подпадает под два основных раздела, один из которых ближе к чистому числу по абстрактности, чем другой, но оба они чисто количественные по характеру, и оба они связаны с ним и друг с другом центральным или шрифтовым понятием Равенства, которое является общим для всех. Первая из них состоит в фигурах пространства, направлениях и скоростях движения, которые являются предметом чистой Геометрии и Кинематики; вторая – в объемах, массах, силах и энергиях, проявляемых физической Материей, насколько они могут быть обработаны количественно и сделаны предметом любой точной физической науки.
