Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография - страница 4

где 

Как видим, k_>1,2 соответствуют 4-му типу решения ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3). В этом случае решением уравнения (7) является выражение

y* = е^{>– η}t (A_>1 cos δt + A_>2 sin δt), (9)

где A_>1 и A_>2 − константы интегрирования.

Частное решение y_>1 определим по виду правой части уравнения, в качестве которой в (5) выступает a/α. Последнее соответствует первому виду правой части НОЛУ (см. Приложение, раздел П1.4), а именно

f (t) = p (t) e ^>γt. (10)

Действительно, для уравнения (5) функцию f (t) можно записать как

Сравнивая между собой (10) и (11), находим, что в нашей задаче

Напомним, что число, возведенное в степень, равно единице только в том случае, если степень равна нулю. Следовательно, γ = 0. Как видим, γ не совпадает с корнями характеристического уравнения k_>1,2. Поэтому для y_>1 выбираем первый тип решения (выбираем пункт 1.а из раздела П1.4 Приложения):

y_>1 = q(t) e^>γt = q(t)

(e^>γt = 1, см. (12)). Определим вид q (t). Для этого учтем, что: а) q (t) – многочлен той же степени, что и р (t); б) в нашем случае р (t) – многочлен нулевой степени:

Следовательно, и q(t) является многочленом нулевой степени, т. е. является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную, например, с: q(t) = c. Тогда

y_>1 = q(t) = c. (13)

Постоянную с найдем, подставив y_>1 в (5):

Воспользуемся (13):

Здесь мы учли, что

Найденное значение с подставим в (13):

– частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) (y* возьмем из (9)):

Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A_>1 и A_>2 на новые постоянные A и φ_>0 по формулам

A_>1 = A sin φ_>0 и A_>2 = A cos φ_>0

(легко увидеть, что 

A_>1 cos δt + A_>2 sin δt = A (sin φ_>0 cos δt + cos φ_>0 sin δt) = A sin (δt + φ_>0).

В результате (14) примет вид

Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.

Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго (a = const), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/γ, т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).

Сравним (15) с известным законом колебательного движения

x = A sin (ωt + φ_>0).

Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:

где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.

Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы

К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.