Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - страница 10

, а в том, чтобы проверить простоту 2^>p-1. Требовались большие по объему вычисления, а вычислительной техники не существовало. Только в XV веке смогли обнаружить пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее p=13 в формуле Евклида. Сделал это немецкий математик Региомонтан. В следующем веке немецкий учёный Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют p=17 и p=19. Независимо от него на совершенство этих чисел указывали итальянец Катальди и француз Марин Мерсенн.

Самое любопытное, что четные совершенные числа кроме 6 (а до сих пор не было найдено ни одного нечетного совершенного числа!) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96. Если отбросить наименьшее совершенное число 6, то у всех остальных совершенных чисел цифровой корень равен 1.

С появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. На январь 2018 года известно 50 чётных совершенных чисел. Но по-прежнему неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.

Проверено, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10^>1500; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101. Поэтому не бросайтесь сразу искать нечетное совершенное число, это уже дело компьютерных программ, а не человека.

В природе кроме редких драгоценных камней существуют более распространенные полудрагоценные камни. У нас кроме совершенных чисел будут рассмотрены не совсем совершенные, но их мы отнесем во второй уровень классификации, в виду ослабления характеристического критерия.

С древних времен пару чисел 220 и 284 считали символом дружбы. В средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Чем же заинтересовали людей эти два с виду обыкновенных числа?

Список собственных делителей числа 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.

Список собственных делителей числа 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

Последователи Пифагора дали этим числам название – дружественные числа. Однако пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Если для двух натуральных чисел сумма собственных делителей первого числа равна второму из этих чисел и наоборот, то такие два числа называются дружественными.

То есть, пару натуральных чисел M, N называют дружественной, если: m_>1+m_>2+…+m_>k=N, n_>1+n_>2+…+n_>i=M, где m_>1, m_>2,…,m_>k собственные делители числа М, n_>1, n_>2,…,n_>i собственные делители числа N.

Многие математики занимались поисками дружественных чисел, хотя большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики. Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Абу-л-Хасан Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел: 17 296 и 18 416; 9 363 584 и 9 437 056. Восток дело тонкое и в Европе об этом узнали гораздо позже того, как сами нашли эти числа. Первым из западных математиков новую пару дружественных чисел нашел француз Пьер Ферма (1601-1665), потом обнаружили, что их упоминал в своем трактате марокканский ученый Ибн аль-Банна аль-Гарани (1256-1321). Через два года после Ферма еще одну пару нашел Рене Декарт. После Декарта великий Леонард Эйлер нашел свой критерий, с помощью которого смог пополнить множество дружественных чисел на несколько десятков. Пишу так расплывчато, потому что в разных источниках упоминается разное количество пар дружественных чисел найденных Эйлером.