Репетитор по математике. Алгебра - страница 3

Пример: -10x^>2y×3x^>3y^>2 × (-xy^>3) = -10×3× (-1) (x^>2x^>3x) (yy^>2y^>3) = 30x^>6y^>6.

Для лучшего понимания, мы расписали это действие более подробно, хотя оно довольно прозрачное и может делаться устно.

Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

Пример: 6x^>3y^>8z^>7: 2xy^>5z^>3 = 3x^>2y^>3z^>4.

Здесь числовой коэффициент делимого разделили на числовой коэффициент делителя, вычли показатели степени буквы x (3—1=2), буквы y (8—5=3) и буквы z (7—3=4).

При делении двух одночленов могут возникнуть две ситуации, которые требуют дополнительного пояснения.

1.Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдёт (ведь нулевая степень любого числа равна единице).

Пример: 12x^>3y^>4: 4x^>3y^>2 =3y^>2.

2.Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание даёт отрицательную степень этой буквы.

Пример: 8x^>3y^>5: 2x^>5y^>3 = 4x^>-2y^>2 = (4y^>2) / (x^>2)

При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень.

Пример: Возведём одночлен 2a^>4b^>2 в четвертую степень.

(2a^>4b^>2)^{> 4} = 2^>4 (a^>4)^{> 4} (b^>2)^{> 4} = 16a^>16b^>8.

Не забывайте, что показатели степеней при данном правиле перемножаются.

Сумма одночленов называется многочленом.

Например, 4x^>2y +3a -7b^>2 – многочлен, состоящий из суммы одночленов 4x^>2, 3a, -7b^>2.

При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Пример. Сложим многочлены x^>3 +2x^>2y^>2 – 7x^>2 + y и 3x^>3 – x^>2y^>2 +5x^>2 – 3y.

Составим сумму многочленов, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены.

(x^>3+2x^>2y^>2—7x^>2+y) + (3x^>2– x^>2y^>2 +5x^>2 – 3y) = x^>3 +3x^>3 +2x^>2y^>2 – x^>2y^>2 – 7x^>2 +5x^>2+ y – 3y = 4x^>3 + x^>2y^>2 – 2x^>2 – 2y.

Здесь одновременно с раскрытием скобок мы сгруппировали подобные члены (для удобства вычислений).

Аналогично, производится и вычитание многочленов. Не забывайте, если перед скобкой стоит знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, меняют свой знак на противоположный.

Пример. (4x^>2y – 7x^>3 +5y – 3) – (-2x^>2y +5x^>3– 3y +2) =4x^>2y – 7x^>3 +5y -3 +2x^>2y -5x^>3 +3y – 2 = 6x^>2y – 12x^>3 +8y – 5.

Произведение многочленов.

Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Схема: a× (b+c) =a×b+a×c (открытие скобок)

Например:

– 4x^>3 (2y^>3– x +6) = -4x^>32y^>3 + (-4x^>3 (-x)) + (-4x^>3 ×6) = -8x^>3y^>3 +4x^>4 – 24x^>3.

Мы выписали здесь промежуточные вычисления, хотя, в принципе, без этой записи можно обойтись.

Умножение многочлена на многочлен.

Произведение многочлена на многочлен равно сумме всех возможных произведений каждого одночлена одного из многочленов на каждый одночлен другого.

Схема: (a+b) × (c+d) =a×c+a×d+b×c+b×d

Пример. (3x^>2 – 6x +2) × (4x^>3 – 3x) = 12x^>5 – 9x^>3 – 24x^>4 +18x^>2 +8x^>3 – 6x =

= 12x^>5 – 24x^>4 – x^>3 +18x^>2 – 6x.

Существуют частные случаи умножения многочленов, которые называются формулами сокращённого умножения многочленов. Их желательно запомнить.

1. (a+b)^{> 2} =a^>2+2ab+b^>2 (квадрат суммы)

2. (a-b)^{> 2}=a^>2—2ab+b^>2 (квадрат разности)

3. (a-b) (a+b) =a^>2-b^>2 (разность квадратов)

4. (a+b)^{> 3}=a^>3+3a^>2b+3ab