Репетитор по математике. Алгебра - страница 5

не делится ни на x-a, ни на x+a.

Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.

Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.

Возведение в степень n двучлена a+b.

(a+b)^{> n}=a^>n+k_>1×a^>n-1×b+k_>2×a^>n-2×b^>2+…+b^>n (эта формула называется биномом Ньютона).

Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля – таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.

Примеры.

(a+b)^{> 4}=a^>4+4a^>3b+6a^>2b^>2+4ab^>3+b^>4

(a+b)^{> 6}=a^>6+6a^>5b+15a^>4b^>2+20a^>3b^>3+15a^>2b^>4+6ab^>5+b^>6

Разложение многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

Примеры.

4x^>2y^>3+8xy^>2z=4xy^>2 (xy+2z)

9a^>2b^>2—3ab^>2c+12abc^>2=3ab (3ab-bc+4c^>2)

2 способ. Способ группировки.

Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

Примеры.

5x^>3+10x^>2+3x+6=5x^>2 (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x^>2+3)

20x^>3—12y^>3+8xy^>2—30x^>2y=20x^>3—30x^>2y+8xy^>2—12y^>3=10x^>2 (2x-3y) +

4y^>2 (2x-3y) = (2x-3y) (10x^>2+4y^>2)

При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.

Например:

6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =

(3a-c) (2b-9d)

3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

Примеры.

9x^>2—1= (3x-1) (3x+1)

4x^>2+4x+1= (2x+1)^> 2

4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax^>2+bx+c=

=a (x-x_>1) (x-x_>2)

где x_>1 и x_>2-корни квадратного уравнения ax^>2+bx+c=0

О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

А сейчас просто проиллюстрируем данный способ

одним примером.

Пример.

2x^>2+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)

Сначала решается квадратное уравнение

2x^>2 +13x -24 = 0 и находятся его корни x_>1=3/2, x_>2=-8

Потом по формуле делается разложение.

Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x^>3+24x+4x

Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.

36x^>3+24x^>2+4x=4x (9x^>2+6x+1)

Трёхчлен 9x^>2+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:

9x^>2+6x+1= (3x+1)^> 2

Таким образом, 36x^>3+24x^>2+4x=4x (3x+1)^> 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен xy^>3—3y^>3+xy^>2z-3y^>2z

Решение: Вынесем за скобки общий множитель y^>2:

xy^>3—3y^>3+xy^>2z-3y^>2z=y^>2 (xy-3y+xz-3z)

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z

xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)

Окончательно получим:

xy^>3—3y^>3+xy^>2z-3y^>2z=y^>2 (x-3) (y+z)

Пример 3. Разложить на множители многочлен: a^>2—4ab-9+4b^>2

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.