Слова и числа - страница 9

Отношения между объектами и множествами описываются понятием принадлежности. Для записи этого отношения есть два специальных знака принадлежит и не принадлежит.

означает, что буква а – гласная и является элементом множества гласных букв, то есть принадлежит ему.

означает, что буква а не является согласной и не принадлежит множеству согласных букв. В качестве сокращения можно записывать отношение принадлежности сразу для нескольких элементов:

Отношения между множествами определяются следующими утверждениями.

Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Для обозначения равенства двух множеств применяется обычный знак равно {a, e, o}={e, o, a}. Порядок расположения элементов при их перечислении не важен, он не меняет состава множества.

Соответственно, два неравных множества отличаются, по крайней мере, одним своим элементом (X≠ {ж, ш, ч}).

Если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В, то говорят, что А включено в В или А есть подмножество множества В. Символически записывается:

Выражение В содержит А является синонимом для выражения А включено в В.

Если одновременно выполняются два условия: А включено в В и А≠В, то говорят, что множество А строго включено в В или А есть истинное подмножество множества В

Пустое множество является подмножеством любого другого множества, то есть для любого множества А:

Знак включения как и знаки равенства и принадлежности имеет свое отрицание, которое выражается соответствующим перечеркнутым знаком, означающим, что Ане является подмножеством множества В:

Применительно для ранее введенных буквенных множеств можно написать следующие утверждения:

Попробуйте самостоятельно дать им словесную формулировку.

Каждое не пустое множество (А≠Ø) имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и Ø. Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А. Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P(А).

Например, если С={у, р, о, к}, то P(С)= {С, {у, р, о}, {у, р, к }, {у, о, к}, {р, о, к}, {у, р}, {у, о}, {у, к}, {р, о}, {р, к}, {о, к}, {у}, {р}, {о}, {к}, Ø }.

Для конечного множества А, состоящего из n элементов, множество-степень P(А) содержит 2^>n элементов. Действительно, в предыдущем примере мы получили 2^>4=16 элементов.

Множества – это математические объекты и над ними можно выполнять некоторые операции.

Объединением множеств А и В называется множество всех предметов, которые являются элементами множества А или элементами множества В. Обозначается:

Слово или в этом определении имеет не исключающий, а собирательный смысл. Например, если мы объединим множество глухих согласных и множество звонких согласных, то получим множество всех согласных букв:

Справедлива и такая запись:

Пересечением множеств А и В называется множество всех предметов, являющихся элементами обоих множеств А и В одновременно. Обозначается:

Среди звонких согласных есть только одна шипящая, буква – ж, а среди глухих три шипящих, поэтому:

Два множества называются непересекающимися, если у них нет общих элементов:

и пересекающимися, если

Множество гласных букв и множество согласных букв не имеют общих элементов – они непересекающиеся:

Дополнением множества А до множества В называется множество тех элементов множества В, которые не являются элементами множества А. Обозначается