Социальный метаболизм. Полилогический матричный анализ «обменных процессов» и стоимости - страница 16



(x>111 + x>211 + x>311): (x>121 + x>221 + x>321): (x>131 + x>231 + x>331) = 2: 3: 4. (15)

Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (15) линейные уравнения имеют вид:

(x>111 + x>211 + x>311) / (x>121 + x>221 + x>321) = 2/3, или иначе

3 × (x>111 + x>211 + x>311) = 2 × (x>121 + x>221 + x>321); (16) *


(x>111 + x>211 + x>311) / (x>131 + x>231 + x>331) = 2/4, или иначе

2 × (x>111 + x>211 + x>311) = 4 × (x>131 + x>231 + x>331); (17) *


(x>121 + x>221 + x>321) / (x>131 + x>231 + x>331) = 3/4, или иначе

4 × (x>121 + x>221 + x>321) = 3 × (x>131 + x>231 + x>331). (18) *

Аналогично, для агента-потребителя с индексом k= 2 имеем:

F>j=1: F>j=2: F>j=3 = (x>112 + x>212 + x>312): (x>122 + x>222 + x>322): (x>132 + x>232 + x>332). (19)

Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):

(x>112 + x>212 + x>312): (x>122 + x>222 + x>322): (x>132 + x>232 + x>332) = 2: 3: 4. (20)

Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (20) линейные уравнения имеют вид:

(x>112 + x>212 + x>312) / (x>122 + x>222 + x>322) = 2/3, или иначе

3 × (x>112 + x>212 + x>312) = 2 × (x>122 + x>222 + x>322); (21) *


(x>112 + x>212 + x>312) / (x>132 + x>232 + x>332) = 2/4, или иначе

2 × (x>112 + x>212 + x>312) = 4 × (x>132 + x>232 + x>332); (22) *


(x>122 + x>222 + x>322) / (x>132 + x>232 + x>332) = 3/4, или иначе

4 × (x>122 + x>222 + x>322) = 3 × (x>132 + x>232 + x>332). (23) *

Аналогично, для агента-потребителя с индексом k= 3 имеем:

F>j=1: F>j=2: F>j=3 = (x>113 + x>213 + x>313): (x>123 + x>223 + x>323): (x>133 + x>233 + x>333). (24)

Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):

(x>113 + x>213 + x>313): (x>123 + x>223 + x>323): (x>133 + x>233 + x>333) = 2: 3: 4. (25)

Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (25) линейные уравнения имеют вид:

(x>113 + x>213 + x>313) / (x>123 + x>223 + x>323) = 2/3, или иначе

3 × (x>113 + x>213 + x>313) = 2 × (x>123 + x>223 + x>323); (26) *


(x>113 + x>213 + x>313) / (x>133 + x>233 + x>333) = 2/4, или иначе

2 × (x>113 + x>213 + x>313) = 4 × (x>133 + x>233 + x>333); (27) *


(x>123 + x>223 + x>323) / (x>133 + x>233 + x>333) = 3/4, или иначе

4 × (x>123 + x>223 + x>323) = 3 × (x>133 + x>233 + x>333). (28) *

Наконец, по условиям задачи, имеем одинаковые объёмы потребления каждым i-ым агентом и по каждому j-ому продукту:

(x>111 + x>211 + x>311) = (x>112 + x>212 + x>312) = (x>113 + x>213 + x>313), (29)

(x>121 + x>221 + x>321) = (x>122 + x>222 + x>322) = (x>123 + x>223 + x>323), (30)

(x>131 + x>231 + x>331) = (x>132 + x>232 + x>332) = (x>133 + x>233 + x>333). (31)

Эти три тройных равенства позволяют получить ещё девять линейных уравнения:

– из первого тройного равенства (29) получим по продукту j = 1 следующие три линейных уравнения:

(x>111 + x>211 + x>311) = (x>112 + x>212 + x>312), (32) *

(x>111 + x>211 + x>311) = (x>113 + x>213 + x>313), (33) *

(x>112 + x>212 + x>312) = (x>113 + x>213 + x>313); (34) *

– из второго тройного равенства (30) получим по продукту j = 2 следующие три линейных уравнения:

(x>121 + x>221 + x>321) = (x>122 + x>222 + x>322), (35) *

(x>121 + x>221 + x>321) = (x>123 + x>223 + x>323), (36) *

(x>122 + x>222 + x>322) = (x>123 + x>223 + x>323); (37) *

– из третьего тройного равенства (31) получим по продукту j = 3 следующие три линейных уравнения:

(x>131 + x>231 + x>331) = (x>132 + x>232 + x>332), (38) *

(x>131 + x>231 + x>331) = (x>133 + x>233 + x>333), (39) *

(x>132 + x>232 + x>332) = (x>133 + x>233 + x>333). (40) *

Известно, что для решения этой системы (линейных) уравнений в задаче с 27 неизвестными переменными необходимо 27 линейных уравнений. Напомним, что решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных (и определитель ее основной матрицы не равен нулю), то такие системы называются элементарными и имеют одно единственное решение.