Статистика: учебное пособие - страница 9

Рассмотренные показатели центральной тенденции и показатели вариации представляют собой частные случаи некоторой единой системы статистических характеристик распределения. Такая единая система характеристик может быть представлена моментами статистического распределения. Если при вычислении моментов за произвольную постоянную принимается средняя арифметическая, то такие моменты называются центральными.

Общая формула центральных моментов k-го порядка имеет вид:

Иначе говоря, центральные моменты k-го порядка представляют собой среднюю арифметическую из k – x степеней отклонений значений признака от средней арифметической.

1. Центральный момент нулевого порядка равен единице при k = 0:

2. Центральный момент первого порядка равен нулю при k = 1:

3. Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию данного распределения при k = 2:

4. Центральный момент третьего порядка имеет вид:

Если распределение симметричное, то нетрудно видеть, что центральный момент третьего порядка равен нулю, так как минусовые отклонения (X_>i – X)^>3 в левой ветви распределения будут уравновешиваться положительными отклонениями в правой части. Такое взаимное погашение отклонений в симметричных рядах распределения сохраняет силу для всех нечетных центральных моментов.

5. Центральный момент четвертого порядка рассчитывается по формуле:

Как будет показано ниже, центральный момент четвертого порядка также используется для характеристики некоторых особенностей форм статистических распределений.

Для всесторонней характеристики изучаемой совокупности необходимы показатели, определяющие меру, степень вариации отдельных значений признака от средней, а также форму распределения, характеризующую ее закономерности.

Надо сказать, что при анализе вариационных рядов в области экономических явлений строго симметричные ряды встречаются довольно редко, чаще исследователю приходится иметь дело с асимметричными. А поскольку в разных рядах асимметричность может иметь различный характер, то, очевидно, должны существовать и показатели, которые бы определяли степень асимметрии и ее направленность.

В статистике для характеристики асимметрии ряда пользуются несколькими показателями. Если учесть, что в симметричном ряду средняя величина совпадает с модой и медианой, то наиболее простым показателем асимметрии может служить разность между средней арифметической и модой (Х – Х_>мо): если (Х – Х_>мо) < 0, то ряд будет характеризоваться правосторонней, или положительной, асимметрией (на графике ряд будет иметь вытянутость вправо); если же (Х – Х_>мо) > 0, то ряд будет характеризоваться левосторонней, или отрицательной, асимметрией (на графике ряд будет иметь вытянутость влево).

Для сравнения асимметрии в некоторых рядах обычно используют отдельный показатель, получающийся путем деления предыдущего показателя (Х – Х_>мо) на среднее квадратическое отклонение:

Принято считать, что M_>3 > 0 свидетельствует о правосторонней асимметрии, а M_>3 < 0 – о левосторонней асимметрии.

Чтобы показатель асимметрии был безразмерной величиной и мог быть использован для сравнения в различных распределениях, центральный момент третьего порядка относят к среднему квадратическо-му отклонению в кубе:

Этот показатель называют нормированным моментом третьего порядка. Если он > 0,5 (независимо от знака), то асимметрия считается существенной. Знак же указывает направленность асимметрии: плюс – правосторонняя, минус – левосторонняя.