Тензоры. Что может быть проще? - страница 22

Антисимметричное тензорное произведение создаёт антисимметричный тензор также гарантированно. Он меняет знак при перестановке индексов. Обозначается оно в виде клина, смотрящего вверх /\, и читается как «клин» или «внешнее произведение». В уравнениях выглядит футуристично, как настоящая математика инопланетян. Основанное на этом символе исчисление было введено Эли Картаном и невероятно упростило некоторые тензорные методы. Это произвело впоследствии настоящую революцию в математике и сейчас ассоциируется с целым отдельным направлением – алгеброй Грассмана.

Опять же, клиновидное произведение строится через базисные вектора, но в этот раз мы после перестановки элементов местами вычитаем один из другого, разность делим на количество слагаемых. Вычитание ведь – это сложение только со знаком минус. Вы ведь помните это?

Разделяй и упрощай!

Вообще, любой тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную части. Найти обе из них удаётся, пользуясь тем же принципом, с помощью которого мы строим сами тензорные произведения. Только вместо перемены местами базисных векторов мы меняем индексы у тензоров местами. Такие операции называются симметрированием – когда нужно получить симметричный объект, и альтернированием – когда нужен антисимметричный тензор. Обозначаются они, соответственно, взятием симметризуемых индексов в круглые скобки и обрамлением в квадратные антисимметризуемых индексов. Индексы, не участвующие в данных процедурах, часто отделяются от остальных вертикальной чертой.

Помимо рассмотренных видов умножения, в тензорном исчислении есть ещё произведение Кулкарни-Номидзу. Оно тоже тензорное, ибо порождает объекты высшего ранга. Но данная операция также несёт с собой смыслы, к которым наша психика на данном этапе ещё не готова…

Подытожим. Мы перевели геометрию на язык алгебры. Возникновение тензоров рангом выше из элементов попроще описали чисто алгебраически – тензорным произведением. Эта операция позволяет комбинировать данные из разных источников, сохраняя при этом информацию о взаимодействиях между ними. Например, в физике тензорное произведение используется для описания систем с несколькими взаимодействующими частицами, а в машинном обучении – для обработки многомерных данных. Тензорное произведение является мощным инструментом для работы с тензорами и дублирует геометрические построения на алгебраическом языке.

Тензорное произведение – это как сплести две нити в полотно: каждая остаётся собой, но вместе они держат узор, который не разорвать. Хочешь описать сложное – просто соедини простое. Что может быть проще?

Математика – это наука об идеях-оборотнях. Задумывались ли вы, как обычная «двойка» меняет свою сущность в зависимости от контекста? Это не просто абстрактный символ. В арифметике она – количество яблок в корзине. В алгебре – результат деления 6 на 3 или логарифм числа 81 по основанию 9. И ординал, и кардинал. В теории колец – элемент, порождающий идеал 2Z в кольце целых чисел Z. Кажется, будто математические объекты наделены магией перевоплощения, оставаясь собой и одновременно превращаясь во что-то иное. «Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем», – так выразился Анри Пуанкаре, гений, чьи работы соединили анализ, топологию и философию науки. Его слова отражают суть нашего путешествия: мы будем исследовать, как один объект – тензор – может быть и многомерным массивом чисел, и полилинейным отображением, и элементом тензорного произведения пространств.