Тензоры. Что может быть проще? - страница 24

, затем противолежащий катет этого треугольника раздели на его гипотенузу и только тогда получишь заветное значение y. А ещё в математике полно функций, которые обозначаются парой символов, а вычисляются так, будто тебе велят: «Продифференцируй несчастный многочлен, найди священный градиент в пятом измерении и принеси его в жертву контурному интегралу – и это ещё не финальный босс». Из всего известного науке зоопарка функций выделяют самые простые – линейные. Ими-то как раз и являются тензоры, если на них правильно посмотреть. Даже больше, они полилинейны!

Зачем писать лишние символы когда и так всё понятно?

Итак. Получается, что векторы и ковекторы – это фундаментальные элементы для всех остальных тензоров. Но что делают объекты обоих этих типов? Ковекторы и векторы взаимодействуют друг с другом, выдавая число.

Можно сказать, что ковектор «съедает» вектор, давая число, а можно трактовать это наоборот. Вектор ловит ковектор и выдаёт число. Объекты эти ведь дуальны!

Любой тензор можно разложить по базису и кормить его

векторами и не только.

А что, если же мы создадим, например, с помощью тензорного произведения ковектора и вектора новый объект? Чем он будет являться? Как говорилось ранее, это будет тензор второго ранга, один раз ковариантный (в честь ковектора) и один раз контравариантный (в честь вектора). Каков его рацион и продукты питания? Эта получившаяся штука будет есть векторы своей ковекторной частью. Но результатом будет объект с одним контравариантным верхним индексом – вектор!

Но этот тензор смешанного типа можно, наоборот, покормить вектором, получив на выходе ковариантный объект – ковектор.

А если взять и перемножить два ковектора и один вектор? Тогда этот объект сможет взаимодействовать с двумя векторами своими двумя ковекторными частями и выдавать вектор. При этом все эти операции будут линейны из-за свойств линейности тензорного произведения. У нас также есть свобода выбора – в какую именно ковекторную пасть поместить вектор. А это сочетание – линейность и возможность делать выбор при взаимодействии с объектом называется – полилинейностью.

Таким образом, тензоры любой природы ведут себя как отображения. Берут один объект, его поглощают, уважая его линейные права, и выдают объект другой природы, даже могут в ранге повысить!

Но давайте вспомним, как происходит само это питание. Ковектор, например, берёт компоненты вектора, умножает их на соответствующие свои и суммирует это всё. С тензорами второго ранга, аки матрицами, также всё сводится к специфическому суммированию перемноженных компонент в определённом порядке. И там и там возникают суммы, порой весьма громоздкие. Но возникают они обязательно.

Данное обстоятельство в 1916 году совсем допекло гениального Эйнштейна. И он вдруг подумал: «А что, если сделать так, чтобы знак суммы выкидывали на помойку, а вместо этого просто договориться, что по повторяющимся индексам мы всегда автоматически суммируем?» Так и родилось правило Эйнштейна: если индекс встречается один раз сверху и один раз снизу – по нему суммируем. И никаких сигм!

Новые тензоры и разные варианты отображений.

Иногда для краткости записи опускают и сам символ тензорного произведения, когда понятно из контекста, что он там есть. Особенно при матричном перемножении или когда ясно, что вектор на ковектор умножается тензорно и по всему этому новому базису разлагается новый тензор через свои компоненты. Без всех этих упрощений обозначения уравнения Общей Теории Относительности (ОТО) и Квантовой Теории Поля (КТП) занимали бы целую стену, а так помещаются даже на футболке.