Тензоры. Что может быть проще? - страница 25

Порождение новых линейных пространств.

Если у нас есть тензоры высоких рангов, то мы их можем заставить взаимодействовать друг с другом огромным количеством способов. Результат будет зависеть от того, по каким индексам мы их сворачиваем (суммируем) с другими монстрами тензорного мира. Главное для нас то, что объект, например, четвёртого ранга может вести себя как вектор, если остальные его три индекса «зацементировать» или заставить их свернуться с другими тензорными объектами. В дальнейшем мы увидим колоссальную пользу и наглядность таких тензоров.

Полилинейность.

Теперь давайте вспомним ещё один факт. Векторы и ковекторы образуют так называемое линейное векторное пространство. Так называют наборы объектов, которые можно складывать между собой, умножать на числа, ну и нужно, чтобы среди всего этого множества были такие элементы, как единица и ноль в местной интерпретации. Тензорное произведение тоже линейно, и значит сохраняет все свойства линейных векторных пространств. А значит, те объекты, которые получились в результате тензорного произведения, сами являются представителями неких новых линейных векторных пространств. Эти пространства также обозначают через символ тензорного произведения или его симметричных и антисимметричных аналогов.

Математики любят оперировать с абстракциями. И казалось бы, где на практике, а не в математических астралах найдётся место тензорному произведению каких-то пространств?

Однако в современном мире и такие конструкции весьма популярны. Например, архитектура квантовых многочастичных систем строится как тензорное произведение и называется пространством Фока. Пространство Фока – это математическая конструкция, которая позволяет описывать системы с переменным числом частиц (как в КТП). Оно строится как прямая сумма симметризованных (для бозонов) или антисимметризованных (для фермионов) тензорных произведений гильбертовых пространств отдельных частиц. Прямая сумма – это тоже просто. Например, трёхмерное пространство является прямой суммой одномерных пространств, задаваемых координатными осями. Тензорное произведение объединяет гильбертовы пространства частиц в единую систему, сохраняя их независимость до симметризации. Симметризация/антисимметризация «склеивает» частицы в соответствии с их природой (бозоны/фермионы). И без этого сейчас никак не обойтись в передовой физике!

Основной фишкой векторов и ковекторов являлась их инвариантность. В какой бы системе отсчёта вы их не рассматривали и под каким углом, они всё равно остаются некоей вещью в себе. Тензорное произведение объединяет объекты такой природы в нечто новое. Получившийся тензор наследует все эти качества самостийности от векторов и ковекторов, из которых он собран. А значит, все тензоры должны подчиняться единому универсальному закону преобразования. Давайте его найдём. Собственно говоря, именно им тензоры так знамениты.

Выражения одного базиса через другой. Прямое и обратное преобразования базиса как ковектора.

Для осмысления этого закона преобразования давайте вспомним о векторах и ковекторах. Это дуальные объекты, которые мы разлагаем по их базисам. Если базисный вектор увеличивается, то базисный ковектор уменьшается. При этом их взаимодействие уже в новом базисе по-прежнему даёт единицу. Это очень хорошо и наглядно видно на рисунке, чисто геометрически.