Вещи не то, чем кажутся. 100 фреймов УНИВЕРСУМА - страница 3

С точки зрения топологии, выделяются количественные и качественные (собственно топологические) свойства пространства [4]. К количественным свойствам относятся кривизна, измерение углов, измерение площадей. Качественные свойства пространства представлены размерностью, ориентированностью, связанностью.

Немецкий математик Гаусс ввёл понятие кривизны или деформации пространства, а также разработал метод, позволяющий исследовать искривление той или иной поверхности. Он создал обобщающую систему координат, где угол между осями может быть криволинейным. Кратчайшее расстояние между двумя точками в обобщённой системе координат получило название геодезической линии. Изменился постулат о параллельных прямых в евклидовой геометрии, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной. Теперь между точкой, лежащей вне геодезической линии, можно было в зависимости от кривизны не провести ни одной геодезической линии параллельной данной или провести их бесконечное количество. В первом случае кривизна положительна, и пространство замкнуто. Образом такого пространства является шар, на котором все геодезические линии, как дуги больших радиусов, пересекаются, а сумма углов треугольника больше 180 градусов. Во втором случае геодезические линии имеют бесконечную длину, пространство разомкнуто, оно имеет отрицательную кривизну. На поверхности с отрицательной кривизной траектории разбегаются и нигде не пересекаются. Сумма углов на подобной поверхности будет меньше 180 градусов. Моделью такой поверхности является седло, а также обратная сторона тора или бублика. Геометрия Евклида оказалась геометрией плоского пространства с кривизной равной нулю. Кривизна во взаимодействии с качественными свойствами порождает огромное топологическое разнообразие пространства.

Рассмотрим такое топологическое свойство, как размерность. Точка как математический объект не имеет измерения. Движение точки порождает линию. Она имеет одно измерение – длину и представляет пример одномерного пространства. Перпендикулярное движение точки относительно линии порождает двухмерное пространство или плоскость. Продолжим алгоритм и получим трёхмерное, а затем четырёхмерное и N-мерные пространства. Представить себе многомерную метрику нельзя, возможности нашего мозга ограничены, но вычислить её можно, используя для этого многоиндексные массивы или матрицы, где количество столбцов и будет определять мерность пространства. Необходимо использовать компьютеры и выполнить проекции, перебрав многомерное многообразие в двухмерных или трёхмерных проекциях. В настоящее время аппарат многомерной метрики широко используется в различных областях науки.

Важной характеристикой размерности пространства является чётность или нечётность. Например, в четырёхмерном пространстве любые две точки будут разделены чем-либо трёхмерным, в двухмерном – одномерном. В подобном пространстве возможно существование таких пар точек, для которых сфера или плоскость, заключающая одну из них, не сможет отделить эти объекты друг от друга. Препятствие в этом случае всегда можно обойти и достичь одной и другой точки, не проникая в сферу. Жук сможет выползти из закрытого ящика стола, желток можно отделить от белка, не разбивая яйцо. Тюрьма в таком пространстве невозможна. Заключённые всё равно убегут, так как препятствия всегда можно обойти.