Читать онлайн Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка

Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координатО, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной осиОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным угломφ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:

Пусть имеются две точки М_>1(х_>1, у_>1) и М_>2(х_>2, у_>2). Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

1. Пусть даны три точки А_>1 (х_>1, у_>1), А_>2 (х_>2, у_>2), А_>3 (х_>3, у_>3), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х_>2 – х_>1) (у_>3 – у_>1) – (х_>3 – x_>1) (у_>2 – у_>1) = 0.

2. Пусть даны две точки А_>1 (х_>1, у_>1), А_>2 (х_>2, у_>2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х_>2 – х_>1)(у – у_>1) – (х – х_>1)(у_>2 – у_>1) = 0 или (х – х_>1) / (х_>2 – х_>1) = (у – у_>1) / (у_>2 – у_>1).

3. Пусть имеются точка М (х_>1, у_>1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у_>1 = а(х – х_>1).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х_>1) + В(у – у_>1) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у_>1 = –(х – х_>1) / а

или

а(у – у_>1) = х_>1 – х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х_>1, у_>1), описывается уравнением А (у – у_>1) – В(х – х_>1) = 0.

4. Пусть даны две точки А_>1 (х_>1, у_>1), А_>2 (х_>2, у_>2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А_>1, А_>2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах_>1 + Ву_>1 + С) и (Ах_>2 + Ву_>2 + С) имеют одинаковые знаки;

2) точки А_>1, А_>2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах_>1 + Ву_>1 + С) и (Ах_>2 + Ву_>2 + С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки А_>1, А_>2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах_>1 + + Ву_>1 + С) и (Ах_>2 + Ву_>2 + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х_>1, у_>1), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у_>1 = к (х – х_>1) (параметр пучкак для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y_>1) = m(x – x_>1), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка L_>1 и L_>2 соответственно имеют вид (А_>1х + В_>1у + С_>1) = 0 и (А_>2х + В_>2у + С_>2) = 0, то уравнение пучка: m_>1(А_>1х + В_>1у + С_>1) + m_>2(А_>2х + В_>2у + С_>2) = 0. Если прямые L_>1 и L_>2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка М (х_>1, у_>1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояниеd от этой точкиМдо прямой:

Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояниер (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный уголα (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние

полярный угол α

причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.

Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение

Рис. 2

После деления получается нормальное уравнение данной прямой:

Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.

Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х_>0, у_>0), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х_>0, у – у_>0 т. е. справедливо следующее х = х* + х_>0, у = у* + у_>0 или х* = х – х_>0, у* = у – у_>0 (* новые координаты точки).

При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):

x = x* cosα – y* sinα;

y = x* sinα + y* cosα

или

x* = x cosα + y sinα;

y* = – x sinα + y cosα.

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линиейn–порядка.

Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х^>2 + у^>2 = R^>2, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:

(х – а)^>2 + (у – b)^>2 = R^>2.

Чтобы уравнение Ах^>2 + Вх + Ау^>2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х^>2 и у^>2 были равны, чтобы В^>2 + С^>2 – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах^>2 + Вх + Ау^>2 + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R^>2 = (В^>2 + С^>2 – 4АD) / 4A^>2.

Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

Прямая АА_>1 называется осью сжатия, отрезок АА_>1 = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ_>1 = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А_>1, В, В_>1 – вершинами эллипса. Отношение k = b / aкоэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x^>2 / a^>2 + y^>2 / b^>2 = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F_>1 имеет одно и то же значение 2а (F_>1M + FM = 2a) (рис. 4).

Рис. 4

Точки F и F_>1 называются фокусами эллипса, а отрезок FF_>1 – фокусным расстоянием, обозначается FF_>1 = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k^>2 = 1 – ε^>2.

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F_>1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F_>1M – FM| = 2a. Точки F, F_>1 называются фокусами гиперболы, расстояние FF_>1 = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х^>2 / а^>2 + у^>2 / (а^>2 – с^>2) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b^>2 = c^>2 – a^>2).

Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ(директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у^>2 = 2рх.

Рис. 5

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости:Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х_>1, у_>1, z_>1) до плоскости:

Пусть имеются две плоскости А_>1х + В_>1у + С_>1z + D_>1 = 0 и А_>2х + В_>2у + С_>2z + D_>2 = 0. Угол φ между этими плоскостями:

Условие равенства двух плоскостей: А_>1/ А_>2 = В_>1/ В_>2 = С_>1 / С_>2 = D_>1 / D_>2. Условие параллельности плоскостей: А_>1 / А_>2 = В_>1 / В_>2 = С_>1 / С_>2. Условие перпендикулярности плоскостей: А_>1А_>2 + В_>1В_>2 + С_>1С_>2 = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х_>1, у_>1, z_>1) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x_>1) + В(у – y_>1) + С(z – z_>1) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М_>1 (х_>1, у_>1, z_>1), М_>2 (х_>2, у_>2, z_>2), М_>3 (х_>3, у_>3, z_>3):

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М_>1(х_>1, у_>1, z_>1) и М_>2(х_>2, у_>2, z_>2) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A_>x + B_>y + C_>z + D = 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М_>1 (х_>1, у_>1, z_>1) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А_>1х + В_>1у + С_>1z + D_>1 = 0 и А_>2х + В_>2у + С_>2z + D_>2 = 0, имеет вид: