Высшая математика. Шпаргалка - страница 4

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a_>n+1 ≤ a_>n (a_>n+1 ≥ a_>n).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {a_>n} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a_>n – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

Число А называется пределом последовательности {a_>n}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a_>n– A| < ε. Обозначение предела последовательности:

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если

Последовательность {а_>n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a_>n≤ M (a_>n ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a_>n}.

Последовательность {а_>n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Теорема. Последовательность {а_>n} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a_>n| < r для всех n.

Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

Последовательность {а_>n} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_>n| < ε.

Последовательность {а_>n} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_>n| < Р.

Предел бесконечно большой последовательности при n > ∞ равен ∞.

Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Для того чтобы последовательность {а_>n} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {b_>n} b_>n = 1 / а_>n была бесконечно малой.

Теорема. Если {а_>n} – бесконечно большая последовательность, а {b_>n} – сходящаяся последовательность, не являющаяся бесконечно малой, то их произведение есть бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) предел бесконечно малой последовательности равен нулю:

2) стационарная последовательность с, с, …, с, … является бесконечно малой тогда, когда с = 0;

3) свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить (прибавить) конечное число членов;