Базы данных: конспект лекций - страница 10

Для операции переименования атрибутов отношения, вообще говоря, это свойство может быть применено, но обязательно со специальными оговорками и условиями.

Свойство идемпотентности очень часто используется для упрощения вида выражения и приведения его к более экономичному, актуальному виду.

И последнее свойство, которое мы рассмотрим, – это свойство монотонности. Интересно заметить, что при любых условиях все три оператора монотонны;

3) свойство монотонности:

а) для операции выборки: r_>1⊆r_>2 ⇒ σ<P> r_>1⇒σ <P>r_>2;

б) для операции проекции: r_>1⊆r_>2⇒r_>1[S'] ⊆r_>2 [S'];

в) для операции переименования: r_>1⊆r_>2⇒ρ<φ>r_>1 ⊆ ρ <φ>r_>2;

Понятие монотонности в реляционной алгебре аналогично этому же понятию из алгебры обычной, общей. Поясним: если изначально отношения r_>1 и r_>2 были связаны между собой таким образом, что r ⊆ r_>2, то и после применения любого их трех операторов выборки, проекции или переименования это соотношение сохранится.

У любых операций есть свои правила применимости, которые необходимо соблюдать, чтобы выражения и действия не теряли смысла. Бинарные теоретико-множественные операции объединения, пересечений и разности могут быть применены только к двум отношениям обязательно с одной и той же схемой отношения. Результатом таких бинарных операций будут являться отношения, состоящие из кортежей, удовлетворяющих условиям операций, но с такой же схемой отношения, как и у операндов.

1. Результатом операции объединения двух отношений r_>1(S) и r_>2(S) будет новое отношение r_>3(S), состоящее из тех кортежей отношений r_>1(S) и r_>2(S), которые принадлежат хотя бы одному из исходных отношений и с такой же схемой отношения.

Таким образом, пересечение двух отношений – это:

Для наглядности, приведем пример в терминах таблиц:

Пусть даны два отношения:

r_>1(S):

r_>2(S):

Мы видим, что схемы первого и второго отношений одинаковы, только имеют различной количество кортежей. Объединением этих двух отношений будет отношение r_>3(S), которому будет соответствовать следующая таблица:

Итак, схема отношения S не изменилась, только выросло количество кортежей.

2. Перейдем к рассмотрению следующей бинарной операции – операции пересечения двух отношений. Как мы знаем еще из школьной геометрии, в результирующее отношение войдут только те кортежи исходных отношений, которые присутствуют одновременно в обоих отношениях r_>1(S) и r_>2(S) (снова обращаем внимание на одинаковую схему отношения).

Операция пересечения двух отношений будет выглядеть следующим образом:

И снова рассмотрим действие этой операции над отношениями, представленными в виде таблиц:

r_>1(S):

r_>2(S):

Согласно определению операции пересечением отношений r_>1(S) и r_>2(S) будет новое отношение r_>4(S), табличное представление которого будет выглядеть следующим образом:

Действительно, если посмотреть на кортежи первого и второго исходного отношений, общий среди них только один: {b, 2}. Он и стал единственным кортежем нового отношения r_>4(S).

3. Операция разности двух отношений определяется аналогичным с предыдущими операциями образом. Отношения-операнды, так же, как и в предыдущих операциях, должны иметь одинаковые схемы отношения, тогда в результирующее отношение войдут все те кортежи первого отношения, которых нет во втором, т. е.: