Базы данных: конспект лекций - страница 12
Таким образом, исходя из всего вышесказанного запишем математическую формулу для операции декартового произведения:
r>4(S>4) = r>1(S1) × r>2(S>2) = {t(S>1 ∪ S>2) | t [S>1] ∈ r>1 & t(S>2) ∈ r>2}, S>1 ∩ S>2= ∅;
Теперь рассмотрим пример, чтобы показать, какой вид будет иметь результирующая схема отношения, при применении операции декартового произведения.
Пусть даны два отношения r>1(S1) и r>2(S>2), которые в табличном виде представляются следующим образом:
r>1(S>1):
r>2(S>2):
Итак, мы видим, что ни один из кортежей отношений r>1(S>1) и r>2(S>2), действительно, не совпадает в их пересечении. Поэтому в результирующее отношение r>4(S>4) попадут всевозможные пары кортежей первого и второго отношений-операндов. Получится:
r>4(S>4) = r>1(S1) × r>2(S>2):
Получилась новая схема отношения r>4(S>4) не «склеиванием» кортежей как в предыдущем случае, а перебором всех возможных различных пар несовпадающих в пересечении исходных схем кортежей.
Снова, как и в случае естественного соединения, приведем схематичный пример работы операции декартового произведения.
Пусть r>1 задано следующим условным образом:
А отношение r>2 задано:
Тогда их декартовое произведение схематично можно изобразить следующим образом:
Именно таким образом и получается результирующее отношение при применении операции декартового произведения.
3. Свойства бинарных операций
Из приведенных выше определений бинарных операций объединения, пересечения, разности, декартового произведения и естественного соединения следуют свойства.
1. Первое свойство, как и в случае унарных операций, иллюстрирует соотношение мощностей отношений:
1) для операции объединения:
|r>1 ∪ r>2| ≤ |r>1| + |r>2|;
2) для операции пересечения:
|r>1 ∩ r>2 | ≤min(|r>1|, |r>2|);
3) для операции разности:
|r>1 \ r>2| ≤ |r>1|;
4) для операции декартового произведения:
|r>1 × r>2| = |r>1| · |r>2|;
5) для операции естественного соединения:
|r>1 × r>2| ≤ |r>1| · |r>2|.
Соотношение мощностей, как мы помним, характеризует, как меняется количество кортежей в отношениях после применения той или иной операции. Итак, что мы видим? Мощность объединения двух отношений r>1 и r>2 меньше суммы мощностей исходных отношений-операндов. Почему это происходит? Все дело в том, что при объединении совпадающие кортежи исчезают, накладываясь друг на друга. Так, обратившись к примеру, который мы рассматривали по прохождении этой операции, можно заметить, что в первом отношении было два кортежа, во втором – три, а в результирующем – четыре, т. е. меньше, чем пять (сумма мощностей отношений-операндов). По совпадающему кортежу {b, 2} эти отношения «склеились».
Мощность результата пересечения двух отношений меньше или равна минимальной мощности исходных отношений-операндов. Обратимся к определению этой операции: в результирующее отношение попадают только те кортежи, которые присутствуют в обоих отношениях исходных. А значит, мощность нового отношения никак не может превышать мощности того отношения-операнда, число кортежей которого наименьшее из двух. А равной этой минимальной мощности мощность результата быть может, так как всегда допускается случай, когда все кортежи отношения с меньшей мощностью совпадают с какими-то кортежами второго отношения-операнда.
Похожие книги
