В случае операции разности все достаточно тривиально. Действительно, если из первого отношения-операнда «вычесть» все кортежи, присутствующие также во втором отношении, то их количество (а следовательно, мощность) уменьшится. В том случае, если ни один кортеж первого отношения не совпадет ни с одним кортежем отношения второго, т. е. «вычитать» будет нечего, мощность его не уменьшится.
Интересно, что в случае применения операции декартового произведения мощность результирующего отношения в точности равна произведению мощностей двух отношений-операндов. Понятно, что это происходит потому, что в результат записываются все возможные пары кортежей исходных отношений, а ничего не исключается.
И, наконец, операцией естественного соединения получается отношение, мощность которого больше или равна произведения мощностей двух исходных отношений. Опять-таки это происходит потому, что отношения-операнды «склеиваются» по совпадающим кортежам, а несовпадающие – из результата исключаются вовсе.
2. Свойство идемпотентности:
1) для операции объединения: r ∪ r = r;
2) для операции пересечения: r ∩ r = r;
3) для операции разности: r \ r ≠ r;
4) для операции декартового произведения (в общем случае, свойство не применимо);
5) для операции естественного соединения: r × r = r.
Интересно, что свойство идемпотентности верно не для всех операций из приведенных, а для операции декартового произведения оно и вовсе не применимо. Действительно, если объединить, пересечь или естественно соединить какое-либо отношение само с собой, оно не изменится. А вот если отнять от отношения точно равное ему отношение, в результате получится пустое отношение.
3. Свойство коммутативности:
1) для операции объединения:
2) для операции пересечения:
3) для операции разности:
4) для операции декартового произведения:
5) для операции естественного соединения:
Свойство коммутативности выполняется для всех операций, кроме операции разности. Это легко понять, ведь от перестановки отношений местами их состав (кортежи) не меняется. А при применении операции разности важно, какое из отношений-операндов стоит на первом месте, потому что от этого зависит, кортежи какого отношения примутся за эталонные, т. е. с какими кортежами будут сравниваться другие кортежи на предмет исключения.
4. Свойство ассоциативности:
1) для операции объединения:
(r>1 ∪ r>2) ∪ r>3 = r>1 ∪(r>2 ∪ r>3);
2) для операции пересечения:
(r>1 ∩ r>2) ∩ r>3 = r>1 ∩ (r>2 ∩ r>3);
3) для операции разности:
(r>1 \ r>2) \ r>3 ≠ r>1 \ (r>2 \ r>3);
4) для операции декартового произведения:
(r>1 × r>2) × r>3 = r>1 × (r>2 × r>3);
5) для операции естественного соединения:
(r>1 × r>2) × r>3 = r>1 × (r>2 × r>3).
И снова мы видим, что свойство выполняется для всех операций, кроме операции разности. Объясняется это таким же образом, как и в случае применения свойства коммутативности. По большому счету, операциям объединения, пересечения, разности и естественного соединения все равно в каком порядке стоят отношения-операнды. Но при «отнимании» отношений друг от друга порядок играет главенствующую роль.
На основании вышеприведенных свойств и рассуждений можно сделать следующий вывод: три последних свойства, а именно свойство идемпотентности, коммутативности и ассоциативности, верны для всех рассмотренных нами операций, кроме операции разности двух отношений, для которой не выполнилось вообще ни одно из трех означенных свойств, и только в одном случае свойство оказалось неприменимым.
