4.3. Доказательство Ферма
Представленное здесь реконструированное доказательство ВТФ содержит неизвестные сегодняшней науке новые открытия,. Однако от этого оно ничуть не становится трудным для понимания. Скорее наоборот, именно эти открытия и позволяют решить эту проблему наиболее просто и доступно. Сам феномен недоказуемой ВТФ вообще не появился бы, если бы Французская Академия наук была создана ещё при жизни П. Ферма. Тогда он стал бы академиком и публиковал свои научные исследования, а среди его теорем во всех учебниках по арифметике была бы и вот такая самая обычная теорема:
Для любого заданного натурального числа n>2 не существует ни одной тройки натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющих уравнению
a>n + b>n = c>n (1)
Для доказательства этого утверждения, предположим, что числа a, b, c, удовлетворяющие (1), существуют и тогда, исходя из этого, мы можем получить все без исключения решения этого уравнения в общем виде. С этой целью мы задействуем метод ключевой формулы, при котором к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение, чтобы стало возможно получить решение (1) в системе из двух уравнений. В нашем случае ключевая формула имеет вид:
a+ b = c + 2m (2)
где m натуральное число.
Для получения формулы (2) отмечаем, что a≠b, т.к. иначе 2a>n=c>n, что очевидно невозможно. Следовательно, a>n-1+b>n-1)>c>n-1, откуда (a+b)>c.
Поскольку в (1) случаи с тремя нечётными a, b, c, а также с одним нечётным и двумя чётными невозможны, то числа a, b, c могут быть либо все чётные, либо два нечётных и одно чётное. Тогда из (a+b)>c следует формула (2), где число 2m чётное>54.
Вначале проверим действенность метода для случая n=2, или уравнения Пифагора a>2+b>2=c>2. Здесь действует ключевая формула (2) и можно получить решение системы уравнений (1), (2), если сделать подстановку одного в другое. Чтобы её упростить, возведём в квадрат обе стороны (2), чтобы сделать числа в (1) и (2) соразмерными. Тогда (2) принимает вид:
{a>2+b>2−c>2}+2(c−b)(c−a)=4m>2 (3)
Подставляя уравнение Пифагора в (3), получаем:
A>iB>i=2m>2 (4)
где с учетом формулы (2):
A>i=c−b=a−2m; B>i=c−a=b−2m (5)
Теперь раскладываем на простые множители число 2m>2, чтобы получить все варианты A>iB>i. Для простых чисел m всегда есть только три варианта: 1×2m>2=2×m>2=m×2m. В этом случае A>1=1; B>1=2m>2; A>2=2; B>2=m>2; A>3=m; B>3=2m. Поскольку из (5) следует a=A>i+2m; b=B>i+2m; а из (2) c=a+b−2m; то в итоге получаем:
a>1=2m+1; b>1=2m(m+1); c>1=2m(m+1)+1
a>2=2(m+1); b>2
