, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого, и быть может, мы их никогда не узнаем» (9, 258). Это пессимистический вывод, и, по мнению акад. Б. В. Гнеденко, он означает только то, что Н. Бурбаки лишь поверхностно затронули важнейший вопрос: каков объект изучения математики (17). Они не попытались выявить процесс формирования основных понятий и основных задач математики в историческом аспекте.
Подобные вопросы не могут возникнуть в связи с определением Ф. Энгельса, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются лишьабстракциями от некоторых отношений и форм реального мира, ониберутся из реального мираи поэтомуестественным образом с ним связаны. В сущности этим объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, объясняется успех того процесса, который мы сейчас наблюдаем и который называется «математизацией» знаний. Известен ряд примеров, когда абстрактно созданные математические теории намного опережали открытие соответствующих им реальных физических процессов в области естествознания. «Удивительная, непостижимая эффективность математики в естествознании, тот факт, что ее современные модели зачастую описывают довольно неплохо сложные процессы материальной действительности, говорит о том, чтоматематика отражает не только количественную, но и в какой-то мере качественную сторону явлений объективной реальности, о чем писали еще Кант и Гегель» (20, 16).
1.7. Гипотеза «ассоциативной аналогии»
Если проанализировать состояние современной математики как области науки, как языка науки в историческом аспекте, выявить процесс формирования основных понятий, то становится очевидным, что современная математика имеет логически стройную внутреннюю структуру, элементами которой являются, в свою очередь, те самые математические структуры, поразительная применимость которых так удивляет («принцип иерархии структур» по Н. Бурбаки).
Но если математические понятия являются абстракциями отношений и форм реального мира, берутся из реального мираи естественным образом с ним связаны, то возникает вопрос – не отражает ли внутренняя структура современной математики, сложившаяся в процессе исторического абстрагирования форм и отношений реального мира, глубинную фундаментальную структуру реального мира? Не является ли внутренняя структура математики некой моделью реального мира? Если это так, то открывается уникальная возможность взглянуть на объективную реальность через призму внутренней структуры современной математики. Итак, что же лежит в основе современной математики?
В соответствии с исследованиями школы Н. Бурбаки, фундаментом современного математического знания является теория множеств. «Возможно вывести почти всю современную математику, – пишет Бурбаки, – из единого источника – теории множеств» (43, 26). В основе теории множеств, как известно, лежат два понятия – понятие «множество» и понятие «отношение». «Множество» есть совокупность элементов. Элемент множества – основная структурная единица при моделировании объективной реальности средствами математики. Понятие «отношение» отражает наличие связей между элементами множества. Совокупность элементов множества и связей, отношений между ними образуют конкретную математическую структуру (43). Таким образом, понятия «множество» и
