Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография - страница 11

В безразмерном виде уравнение (35) имеет вид:

где 

2.3.2. Покажем, что устойчивым стационарным состоянием (аттрактором) генератора Ван дер Поля действительно является предельный цикл. С этой целью уравнение (35) приведем к виду эволюционного уравнения (см. (П6)):

где Y_>1 = φ; Y_>2 = dφ/dt;

F_>1 = Y_>2;

F_>2 = εY_>2 – Y_>1^>2Y_>2 – Y_>1. (36)

Находим стационарное решение

Y_>1cm = Y_>2ст = 0. (37)

По формуле (П12) с учетом (36) находим коэффициенты линейного разложения

а_>11 = 0;

а_>12 = 1;

а_>21 = –2Y_>1стY_>2ст – 1;

а_>22 = ε – Y_>21ст.

По формулам (П22) находим

B = ε – Y^>2_>1ст;

∆ = 2Y_>1стY_>2ст + 1; (38)

D = (ε – Y^>2_>1ст)^>2 – 4 ∆.

Подставив стационарное решение (37) в (38), получим, что

B > 0; ∆ > 0; D = ε^>2 – 4. (39)

2.3.3. Если ε достаточно мало, то D становится отрицательным, а распределение знаков в (39) соответствует неустойчивому фокусу (см. (П30)). В этом случае фазовая траектория в координатах Y_>1 и Y_>2 будет представлять собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

Раскручивание спирали приводит к тому, что с течением времени увеличивается переменная Y_>1, которую мы использовали для обозначения угловой величины φ из уравнения (35). Если величина φ вырастает настолько, что выполняется φ^>2 > ε, то знак перед производной первого порядка в уравнении (35) становится положительным. Тогда в первом из уравнений (38) мы получим, что B = —ε (при Y_>1cm = 0), т. е. B < 0. Учитывая, что ∆ > 0; D < 0, и сравнивая с выражением (П25), приходим к заключению о том, что в этом случае стационарное решение (37) является устойчивым фокусом. Фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (см. рис. П2).

Эволюционная диаграмма переменной Y_>1 показана на рис. 4. Штриховой линией обозначены фазовые траектории в пространстве Y_>1, Y_>2. Огибающие этих траекторий выделены. Вид сечения эволюционной диаграммы в месте сшивки двух конусов в координатах Y_>1 и Y_>2 совпадает с предельным циклом. При этом очевидно, что радиус спирали с течением времени стремится к значению √ε по оси Y_>1. Причем если речь идет о малом значении ε, т. е. о малой вязкости γ_>0, то вид устойчивого стационарного решения закона (35) должен быть близок к уравнению окружности [2]:

Y^>2_>1ст + Y^>2_>2ст ≈ ε.

2.3.4. Таким образом, в фазовом пространстве двух переменных генератору Ван дер Поля соответствует устойчивая замкнутая траектория (аттрактор) – предельный цикл.

Сравнивая между собой эволюционные диаграммы, представленные на рис. 2 и 4, приходим к выводу об общих закономерностях возникновения устойчивых состояний описанных экономической и физической систем.

Рис. 4

Различные системы по разным причинам попадают в неустойчивое состояние. Однако, попав в него, они подчиняются общим закономерностям, отражающим суть неустойчивого состояния. При этом бифуркационные закономерности занимают среди названных не последнее место (о бифуркациях см. Приложение, раздел П5).

Биологические системы – это открытые и неравновесные системы. Достигнуть равновесия им постоянно мешает какое-нибудь внешнее воздействие. В математическом отношении внешнее воздействие учитывается с помощью управляющего параметра в эволюционном уравнении. Если изменяются внешние условия, то изменяется и величина управляющего параметра. Последнее же, как мы видели, приводит к смене типов устойчивости. В результате при определенном значении этого параметра система может оказаться неустойчивой и, следовательно, подверженной бифуркации.