Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография - страница 8

Тогда доход фирмы равен sN, а расход – pQ*. В результате приходим к известному уравнению, характеризующему суть страхового бизнеса:

Y = sN – pQ*. (21)

2.2.1. Модель государственной страховой фирмы

Характерной особенностью государственной страховой фирмы является требование всеобщего страхования (например, в рамках конкретного страхового профиля), т. е. N = const.

В качестве переменной задачи выберем прибыль страховой компании Y. Сформулируем главную пропорцию: прирост прибыли dY/dt (увеличение прибыли с течением времени t) пропорционален числу клиентов, а также величине самой прибыли, если часть прибыли вкладывается в какие-нибудь доходные предприятия (~ NY). Кроме того, следует отнять ту часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~ Q*). Уравнение, соответствующее данной пропорции, примет вид

где знак пропорции ~ мы заменили коэффициентами пропорциональности α и ε.

Выразим Q* из (21)

Подставив это выражение в (22), получим

и окончательно

– эволюционное уравнение государственной страховой фирмы. В (23) введены обозначения: λ = ε/p; δ =εs/p.

Стационарное решение Y_>ст уравнения (23) найдем из условия (П8) (dY_>ст/dt = 0):

0 = Y_>cт (α N + λ),

откуда

– стационарное значение прибыли в государственной страховой фирме.

Зададим возмущение y для Y_>ст. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде

y = c exp (ωt).

Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:

a_>11 – ω = 0,

Следовательно, ω = a_>11 и

y = c exp (a_>11 t). (24)

где a_>11 вычисляется по формуле (П12). В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:

где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности α положителен). Следовательно,

a_>11 > 0.

Как видим, возмущение y из (24) увеличивается с течением времени. Последнее означает, что Y_>ст является неустойчивым.

Таким образом, в рамках рассмотренной модели стабильное получение прибыли государственной страховой фирмой возможно лишь в сильно консервативном обществе, когда возмущение, создаваемое конкуренцией на рынке, отсутствует.

2.2.2. Модель частной страховой фирмы

Характерной особенностью частной страховой фирмы является зависимость числа клиентов от времени. Следовательно, в этой модели число клиентов N необходимо учитывать в качестве переменной, которую обозначим как Y_>1. Как и в предыдущем случае, прибыль страховой фирмы является переменной величиной, ее мы обозначим Y_>2.

2.2.2.1. Главные пропорции частной страховой фирмы можно сформулировать следующим образом.

1. Прирост клиентов dY_>1/dt пропорционален размеру получаемой прибыли Y_>2 (средний клиент предпочитают иметь дело с более богатой фирмой), среднему в данном регионе доходу клиента D_>0 и среднему в данном регионе количеству несчастных случаев Q (~Y_>2D_>0Q). Отрицательная составляющая пропорции обусловлена теми клиентами, которые по каким-то причинам отказались от услуг фирмы (математически количество таких клиентов составляет некоторую долю от общего числа клиентов, которая статистически тем больше, чем больше у фирмы клиентов), т. е. отрицательная составляющая ~Y_>1.

2. Прирост прибыли