Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография - страница 9

Заменив знак пропорции ~ на коэффициенты пропорциональности α, γ, µ и β, придем к следующей системе двух уравнений

или

где c = αD_>0Q.

Количество страховых выплат Q* найдем из (21) (напомним, что в данной модели в роли Y выступает Y_>2, в роли N выступает Y_>1):

Подставим это выражение в (26)

где введены обозначения σ = β/p; η = βs/p.

Выражение (27) представляет собой систему эволюционных уравнений частной страховой фирмы (сравните с (П6)).

2.2.2.2. Найдем стационарное решение. Для этого к (27) применим условие (П8):

Как видим, второе уравнение дает для Y_>2ст два значения:

С учетом первого уравнения приходим к двум стационарным решениям (стационарным состояниям фирмы):

2. Y_>1ст = Y_>1ст = 0. (29)

2.2.2.3. Чтобы проверить данные стационарные решения на устойчивость, необходимо задать их возмущения. Затем следует проанализировать, как возмущения изменяются с течением времени: если уменьшаются, то состояние устойчиво, если увеличиваются, то неустойчиво.

Учтем, что наша модель содержит две переменные Y_>1 и Y_>2. Благодаря этому процесс выяснения устойчивости упрощается. Мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарные решения (28) и (29) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ∆ и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a_>11, a_>12, a_>21 и а_>22. Их мы найдем с помощью (П12), в которой F_>i возьмем из системы эволюционных уравнений (27) нашей задачи.

Согласно (П12),

1. Вначале проверим на устойчивость решение (28). Для этого его следует подставить в полученные выше выражения для а_>21 и а_>22. В результате найдем

По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:

Чтобы определить их знаки, проведем сравнительную оценку величин коэффициентов γ, σ, η и с.

Коэффициент γ характеризует долю клиентов, решивших расторгнуть страховые отношения с данной фирмой (см. формулировку первой главной пропорции в 2.2.2.1). Если фирма не банкрот, то γ должна быть малой величиной.

Напомним, что σ = β/p, при этом p – размер страховой выплаты клиенту, т. е. большая величина. Поэтому мы полагаем σ малой величиной.

Так как η = s β/p, т. е. в s раз больше, чем σ, то η полагаем сравнительно большой величиной (напомним, что s >>1).

Величина c также должна быть большой, так как этот коэффициент пропорционален доходу D_>0 (D_>0 > 1) и количеству несчастных случаев Q за некоторый период (Q >> 1).

В результате получаем следующее распределение знаков:

B > 0; ∆ < 0; D > 0.

Такое сочетание знаков совпадает с (П32). В этом случае стационарное решение (28) соответствует седловой неустойчивости.

Таким образом, решение (28) является неустойчивым.

2. Проверим на устойчивость стационарное состояние (29). Для этого его стационарные значения Y_>1ст и Y_>2ст подставим в (32) и (33). В результате с учетом (30) и (31) найдем:

a_>11 = – γ; a_>12 = c;

a_>21 = µY_>2ст – η = 0 – η = – η;

a_>22 = µY_>1ст + σ = 0 + σ = σ.

По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:

B = σ – γ, ∆ = ηc – σγ, D = (σ + γ)^>2 – 4ηc.

Выше мы уже установили, что