Тензоры. Что может быть проще? - страница 14

Да. Понять, что перед вами тензор, очень легко! Нужно вспомнить, что он является оператором-превращателем. Он берёт один вектор и превращает его в другой, имеющий, возможно, иное направление.

Давайте обратимся к физике и посмотрим, какие в ней есть подобные величины. Если мы вспомним о векторе импульса и о том, что он равен скорости, умноженной на массу (и иногда на релятивистский коэффициент), то поймём, что масса – это просто число. Коэффициент пропорциональности, если угодно., потому как вектор импульса и скорости всегда сонаправлены.

Теперь представим себе спутник, летающий где-то в небесах. Его скорость и импульс так же всегда сонаправлены. Но у вращающегося тела помимо импульса есть ещё и момент импульса. Он равен моменту инерции, умноженному на угловую скорость вращения. Спутник мы можем вращать вокруг разных осей. А значит, момент инерции относительно этих осей будет разным. Поэтому даже если спутник вращается с одинаковой по модулю угловой скоростью в обоих направлениях, из-за разной величины момента инерции его угловой момент будет разным. В одном случае он будет больше, в другом меньше. А значит, если сложить их вместе, получится, что результирующий угловой момент не совпадает по направлению с вектором угловой скорости. Это значит, что момент инерции это не число, а такой же превращатель одних векторов в другие – тензор!

Момент инерции и проводимость – тензоры.

Признаки видны сразу!

Теперь вспомним закон Ома в векторной форме. Вместо тока I у нас там вектор плотности тока J. Вместо напряжения U у нас вектор напряжённости Е. В самых простых случаях эти два вектора пропорциональны друг другу, и коэффициент пропорциональности именуется проводимостью. Но если перед нами необычный кристалл, то пропорциональность этих векторов нарушается. Ведь в специальных анизотропных кристаллах проводимость может зависеть от направления! Тогда вектор тока и напряжённости уже не будут коллинеарны. В этом случае проводимость уже оказывается тензором.

Так что критерий оказался весьма прост. Видя некое линейное уравнение или закон, посмотрите на его правую и левую части и спросите себя, куда направлены вектора, находящиеся по обе стороны, и совпадают ли они в самом общем случае. Если всегда совпадают, значит, перед вами скалярная величина. Если есть ситуации, где коллинеарность нарушается, значит, перед вами тензор во всей красе и информативности. Тензоры в физике и математике возникают повсюду. Даже обычная деформация – и то тензор! Поэтому настало время сделать то, что так любят математики: абстрагироваться от объектов и описать их на абстрактном языке, алгебраическом и геометрическом наглядном.

Окинув мысленным взором всё, что мы уже поняли, давайте поразмыслим, как всё это можно обобщить. Матрицу (оператор) мы составляли из трёх векторов, и она уже позволяла нам изменять входящие векторы, превращая их в другие, имеющие даже другое направление.

Значит, для описания тензора нам нужно три вектора. Но эти векторы должны быть упорядочены. Хорошо это или плохо? На первый взгляд это может смущать. Но если мы вспомним, что вектор можно представить тремя компонентами, которые суть просто упорядоченный же набор чисел, то сомнения отпадут. Три упорядоченных числа для вектора, три упорядоченных вектора для тензора. Что тут такого?

Глядя на эту иерархическую лестницу, возникает интересная мысль. А давайте упорядоченные числа называть тензором первого ранга, а упорядоченные векторы – тензорами второго ранга. Скаляры же тогда само собой просится назвать тензорами нолевого ранга. Ну и логично предположить, что упорядоченные наборы тензоров второго ранга можно называть тензорами уже следующего – третьего ранга.