Тензоры. Что может быть проще? - страница 12

Пронзаем тензор векторами и получаем силу в их направлении.

Тензор – это оператор преобразования. Чтобы найти силу напряжения на произвольной площадке с нормалью

n= (n_>x; n_>y; n_>z), нужно умножить тензор напряжений P_>ij на этот вектор:

F=Pn= напряжение вдоль направления вектора n.

Эта операция «смешивает» вклады от всех трёх базисных векторов тензора, учитывая ориентацию площадки.

Например, пусть нормаль к площадке направлена вдоль оси X:

n= (1; 0; 0). Тогда мы получим просто первый вектор тензора. Если же n повёрнут под углом, в формуле появятся комбинации всех компонент P_>ij. Таким образом, тензор позволяет «пересчитать» напряжения для любой ориентации, используя всего три базисных вектора.

Представьте, что три базисных вектора тензора – это основные цвета (RGB). Любой оттенок (направление) можно получить их смешением. Тензор – это инструкция, как комбинировать «цвета» -напряжения для получения «оттенка» -напряжения в произвольном направлении. Если бы у нас не было тензора, пришлось бы измерять напряжения для всех возможных углов, что физически невозможно. Тензор даёт компактную формулу вместо бесконечного числа экспериментов.

Почему в тензоре только три вектора, а не больше? Дело в том, что трёхмерное пространство описывается тремя независимыми направлениями (осями X, Y, Z).

Любой вектор или тензор в этом пространстве можно разложить по этим базисным направлениям. Добавление четвёртого вектора избыточно – он будет выражаться через существующие три. К примеру в механике если вы знаете силы, действующие на три взаимно перпендикулярные грани кубика, вы можете найти силу на любой наклонной грани через проекции. Дополнительные измерения не нужны.

В разных точках балки могут быть разные напряжения, что порождает целое поле тензора, зависящего от координат. Пронзая его векторами, мы получаем значения сил.

Тензор напряжений, несомненно, олицетворяет и чисто физические законы. Симметрия тензора (P_>ij=P_>ji) – прямое следствие третьего закона Ньютона (действие равно противодействию) и сохранения момента импульса. Если касательное напряжение на

верхней грани толкает кубик вправо, то напряжение на правой грани должно толкать его вверх с той же силой. Если бы не симметрия соответствующих компонент, возник бы «неуравновешенный» крутящий момент, и кубик начал бы вращаться сам по себе, что противоречит реальности.

Тензор напряжений P_>ij в трёхмерном случае имеет 9 компонент, но из-за симметрии независимых только 6. Диагональные компоненты P_>11, P_>22, P_>33 представляют из себя нормальные напряжения, действующие перпендикулярно граням кубика.

Если P_>11=P_>xx> 0 положительно, то это говорит о растяжении вдоль оси X. Если же эта компонента отрицательна, то происходит сжатие. Недиагональные компоненты P_>12, P_>23, …, представляют собой касательные (сдвиговые) напряжения, действующие вдоль граней. Например, P_>xy – напряжение вдоль оси Y на грани, перпендикулярной X.

Существуют так называемые главные напряжения – это максимальные нормальные